- •Раздел 1. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами
- •Виды квадратных матриц
- •Транспонирование матриц
- •Линейные операции над матрицами
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Задача 1.1.1
- •Решение
- •Умножение матриц
- •Задача 1.1.2
- •Решение
- •1.1.2. Определители
- •Определитель второго порядка
- •Определитель третьего порядка
- •Основные свойства определителей
- •Теорема разложения
- •Задача 1.1.3
- •Решение
- •1.1.3. Обратная матрица
- •Задача 1.1.4
- •Решение
- •1.1.4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования в матрице
- •Задача 1.1.5
- •Решение
- •1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- •1.2.1. Формулы Крамера
- •Задача 1.2.1
- •Решение
- •1.2.2. Матричный метод
- •Задача 1.2.2
- •Решение
- •Задача 1.2.3
- •Решение
- •Проверка
- •1.2.3. Метод Гаусса
- •Задача 1.2.4
- •Решение
- •Задача 1.2.5
- •Решение
- •1.2.4. Однородные системы
- •Определение 1.2.1
- •Решение
- •1.3. Векторы. Линейное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность линейного векторного пространства
- •1.3.1. Понятие вектора. Линейное векторное пространство.
- •Определение 1.3.1
- •1.3.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
- •Определение 1.3.2
- •Определение 1.3.3
- •Определение 1.3.4
- •Задача 1.3.2
- •Решение
- •Определение 1.3.5
- •Задача 1.3.3
- •Решение
- •1.3.3. Размерность и базис линейного пространства. Линейная зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве
- •Определение 1.3.6
- •Определение 1.3.7
- •1.3.4. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису
- •Определение 1.3.8
- •Определение 1.3.9
- •Определение 1.3.10
- •Определение 1.3.11
- •1.4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1.4.1. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Геометрический смысл скалярного произведения
- •Теорема 1.4.1.
- •Доказательство
- •Задача 1.4.1
- •Решение
- •Задача 1.4.2
- •Решение
- •Задачи, использующие скалярное произведение
- •Задача 1.4.3
- •Решение
- •2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора
- •Задача 1.4.4
- •Решение
- •3. Вычисление работы, производимой силой по перемещению материальной точки.
- •Задача 1.4.5
- •Решение
- •1.4.2. Векторное произведение
- •Определение 1.4.1
- •Задача 1.4.6
- •Решение
- •Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе
- •Задачи, использующие векторное произведение.
- •1. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника
- •Задача 1.4.7
- •Решение
- •2. Вычисление момента силы
- •Задача 1.4.8
- •Решение
- •3. Определение вектора, ортогонального двум данным
- •Задача 1.4.9
- •Решение
- •1.4.3. Смешанное произведение
- •Определение 1.4.2
- •Свойства смешанного произведения
- •Задачи, использующие смешанное произведение
- •Задача 1.4.10
- •Решение
- •Задача 1.4.11
- •Решение
- •Задача 1.4.12
- •Решение
- •1.5. Кривые на плоскости и поверхности в пространстве
- •1.5.1. Метод координат на плоскости
- •1.5.2. Линии на плоскости
- •Определение
- •Задача 1.5.1
- •Решение
- •1.5.3. Метод координат в пространстве
- •1.5.4. Поверхности в пространстве и их уравнения
- •Задача 1.5.2
- •1.5.5. Линии в пространстве. Параметрическое задание линий на плоскости и в пространстве
- •Задача 1.5.3
- •Задача 1.5.4
- •Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями
- •Окружность
- •Эллипс
- •Астроида
- •Циклоида
- •Задача 1.5.5
- •1.5.6. Полярная система координат
- •Задача 1.5.6
- •Решение
- •Задача 1.5.7
- •Решение
- •Задача 1.5.8
- •Решение
- •Задача 1.5.9
- •Решение
- •1.6. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве
- •1.6.1. Уравнения прямой на плоскости
- •Теорема 1.6.1
- •Доказательство
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой с нормальным вектором
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми
- •Точка пересечения прямых
- •Расстояние от точки до прямой
- •1.6.2. Уравнения плоскости
- •Теорема 1.6.2.
- •Доказательство
- •Уравнение плоскости с нормальным вектором
- •Задача 1.6.5
- •Решение
- •Задача 1.6.6
- •Решение
- •Задача 1.6.7
- •Решение
- •Задача 1.6.8
- •Решение
- •Задача 1.6.9
- •Решение
- •Теорема 1.6.3
- •Задача 1.6.10
- •Решение
- •Задача 1.6.11
- •Решение
- •Теорема 1.6.4
- •Доказательство
- •Задача 1.6.12
- •Решение
- •Исследование общего уравнения плоскости
- •Определение
- •Задача 1.6.13
- •Решение
- •1.6.3. Уравнения прямой в пространстве
- •Теорема 1.6.5
- •Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
- •Параметрические уравнения прямой
- •Канонические уравнения прямой
- •Задача 1.6.14
- •Решение
- •Задача 1.6.15
- •Решение
- •Угол между прямыми
- •Условие перпендикулярности прямых
- •Условие параллельности прямых
- •Условия пересечения прямых в пространстве
- •Задача 1.6.16
- •Решение
- •Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
- •Задача 1.6.17
- •Решение
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Задача 1.6.18
- •Решение
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •Задача 1.6.19
- •Решение
- •1.7. Кривые и поверхности второго порядка
- •1.7.1. Кривые второго порядка
- •Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка
- •Уравнение эллипса
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение параболы
- •Уравнение пары пересекающихся прямых
- •Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
- •Уравнение, определяющее точку
- •Эллипс
- •Теорема 1.7.1
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Гипербола
- •Теорема 1.7.2
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой.
- •Определение 1.7.1
- •Теорема 1.7.3
- •Доказательство
- •Парабола
- •Теорема 1.7.4
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Задача 1.7.1
- •Решение
- •Преобразование координат на плоскости. Построение кривых заданных общим уравнением
- •Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
- •Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
- •Уравнение параболы с вершиной в точке
- •Задача 1.7.2
- •Решение
- •1.7.2. Поверхности второго порядка
- •Определение 1.7.2
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Конус второго порядка.
- •Цилиндры второго порядка
- •Определение 1.7.3
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический и параболический цилиндры
- •Задача 1.3.1
- •Решение
Числа a и b называются полуосями гиперболы, a - действительной полуосью, а b - мнимой
полуосью.
Для части гиперболы, находящейся в первой четверти, явное уравнение имеет вид
|
|
y = |
b |
|
x2 − a2 , (a ≤ x < ∞), |
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из которого видно, что |
y |
принимает вещественные значения при |
|
x |
|
≥ a . Следовательно, нет |
||||||
|
|
|||||||||||
точек кривой, расположенных в полосе |
|
x |
|
≤ a . Кроме того, из явного уравнения можно видеть, |
||||||||
|
|
|||||||||||
что при возрастании |
x |
на полуинтервале [a,+∞) ордината y |
|
возрастает |
и стремится к |
|||||||
бесконечности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1.7.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) при |
|||
Прямая y = kx +b |
является асимптотой кривой, заданной |
|
уравнением |
|||||||||
x → +∞ (x → −∞), если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim [f (x) − kx −b]= 0 или lim [f (x) − kx −b]= 0 . |
|
|||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|||
Теорема 1.7.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямые y == ± ba x являются асимптотами гиперболы.
Доказательство
Для части гиперболы в первой четверти, определяемой равенством y = ba x2 − a2 и прямой
y = ba x :
|
b |
|
x2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
x2 |
− a2 − x |
|
|||||||||||||
|
lim |
|
|
|
− bxa |
= |
lim |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→∞ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
b x2 − x2 − a |
2 |
= |
|
b |
|
|
− a |
2 |
|
|
= 0 . |
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
x→∞ a |
|
x + |
x |
− a |
2 |
|
x→∞ a |
|
x + |
x |
− a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Это означает, что |
прямая |
|
y = |
b |
x |
|
является асимптотой |
|
гиперболы при x → +∞. В силу |
||||||||||||||||||
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
симметрии гиперболыотносительноосей, такжекакисимметриипарыпрямых y = ± ba x относительно
осей, можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами как при x → +∞, так и при x → −∞. Вид кривой показан на рисунке 1.7.4.
65
y
F1 |
А |
2 |
А |
|
F |
2 |
|
|
1 |
|
|
||
− c |
− a |
a |
c |
|
x |
Рис. 1.7.4.
Эксцентриситет гиперболы ε = ac , где a - действительная полуось. Так как у гиперболы c > a ,
то ее эксцентриситет ε >1.
Зависимость формы гиперболы от величины эксцентриситета можно выяснить, если зафиксировать значение a и увеличивать значение параметра c . При этом будут увеличиваться
величина эксцентриситета ε и значение параметра b , так как b2 = c2 − a2 . но тогда будет расти и абсолютная величина ba углового коэффициента асимптот гиперболы. Следовательно, при увеличении эксцентриситета увеличивается размах ветвей гиперболы.
Парабола
Параболой называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой.
Теорема 1.7.4
Если точка F - фокус параболы, а прямая l - ее директриса и задано расстояние между ними, равное p , то в системе координат, где ось Ox проходит через F перпендикулярно l и
направлена от фокуса к директрисе, а начало координат выбрано посередине между ними, уравнение параболы имеет вид
y2 = 2 px , (p > 0)
Доказательство
Во введенной системе координат координаты фокуса F(2p ,0) и уравнение директрисы l : x = − 2p (рис. 1.7.5). Если точка A(x, y) лежит на параболе, то справедливо
AF = AB , или AF 2 = AB2 ,
где B(− 2p , y)– точка пересечения перпендикуляра, проведенного из A на директрису l .
66
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
y |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
p |
|
O |
|
|
x |
|
|
|
p |
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
p 2 |
|
p 2 |
|||||||
AF 2 = x − |
|
|
+ y2 |
и AB2 = x + |
|
|
|
|
, то x − |
|
+ y2 = x + |
|
, |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
что равносильно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − px + |
p2 |
|
+ y2 |
= x2 + px + |
p2 |
, или − px + y2 |
= px , |
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
откуда следует уравнение параболы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
= 2 px , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
которое называется каноническим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Исследование формы кривой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Из уравнения параболы видно, что кривая симметрична относительно оси |
Ox и проходит |
|||||||||||||||||||||||||||
через начало координат. Для ее ветви в верхней полуплоскости, |
при y ≥ 0 , |
явно решенное |
||||||||||||||||||||||||||
относительно y уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 px (0 ≤ x ≤ ∞),
из которого видно, что когда x возрастает на полуинтервале [0,+∞), ордината y возрастает от 0 до + ∞ .
При y ≤ 0 ветвь гиперболы симметрична относительно оси Ox . Парабола не имеет асимптот.
Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой. Вид кривой показан на рисунке
1.7.6.
y
O |
x |
Рис. 1.7.6.
Задача 1.7.1
Построить кривую, заданную уравнением y2 − x2 = 4.
67