- •Раздел 1. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами
- •Виды квадратных матриц
- •Транспонирование матриц
- •Линейные операции над матрицами
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Задача 1.1.1
- •Решение
- •Умножение матриц
- •Задача 1.1.2
- •Решение
- •1.1.2. Определители
- •Определитель второго порядка
- •Определитель третьего порядка
- •Основные свойства определителей
- •Теорема разложения
- •Задача 1.1.3
- •Решение
- •1.1.3. Обратная матрица
- •Задача 1.1.4
- •Решение
- •1.1.4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования в матрице
- •Задача 1.1.5
- •Решение
- •1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- •1.2.1. Формулы Крамера
- •Задача 1.2.1
- •Решение
- •1.2.2. Матричный метод
- •Задача 1.2.2
- •Решение
- •Задача 1.2.3
- •Решение
- •Проверка
- •1.2.3. Метод Гаусса
- •Задача 1.2.4
- •Решение
- •Задача 1.2.5
- •Решение
- •1.2.4. Однородные системы
- •Определение 1.2.1
- •Решение
- •1.3. Векторы. Линейное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность линейного векторного пространства
- •1.3.1. Понятие вектора. Линейное векторное пространство.
- •Определение 1.3.1
- •1.3.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
- •Определение 1.3.2
- •Определение 1.3.3
- •Определение 1.3.4
- •Задача 1.3.2
- •Решение
- •Определение 1.3.5
- •Задача 1.3.3
- •Решение
- •1.3.3. Размерность и базис линейного пространства. Линейная зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве
- •Определение 1.3.6
- •Определение 1.3.7
- •1.3.4. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису
- •Определение 1.3.8
- •Определение 1.3.9
- •Определение 1.3.10
- •Определение 1.3.11
- •1.4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1.4.1. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Геометрический смысл скалярного произведения
- •Теорема 1.4.1.
- •Доказательство
- •Задача 1.4.1
- •Решение
- •Задача 1.4.2
- •Решение
- •Задачи, использующие скалярное произведение
- •Задача 1.4.3
- •Решение
- •2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора
- •Задача 1.4.4
- •Решение
- •3. Вычисление работы, производимой силой по перемещению материальной точки.
- •Задача 1.4.5
- •Решение
- •1.4.2. Векторное произведение
- •Определение 1.4.1
- •Задача 1.4.6
- •Решение
- •Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе
- •Задачи, использующие векторное произведение.
- •1. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника
- •Задача 1.4.7
- •Решение
- •2. Вычисление момента силы
- •Задача 1.4.8
- •Решение
- •3. Определение вектора, ортогонального двум данным
- •Задача 1.4.9
- •Решение
- •1.4.3. Смешанное произведение
- •Определение 1.4.2
- •Свойства смешанного произведения
- •Задачи, использующие смешанное произведение
- •Задача 1.4.10
- •Решение
- •Задача 1.4.11
- •Решение
- •Задача 1.4.12
- •Решение
- •1.5. Кривые на плоскости и поверхности в пространстве
- •1.5.1. Метод координат на плоскости
- •1.5.2. Линии на плоскости
- •Определение
- •Задача 1.5.1
- •Решение
- •1.5.3. Метод координат в пространстве
- •1.5.4. Поверхности в пространстве и их уравнения
- •Задача 1.5.2
- •1.5.5. Линии в пространстве. Параметрическое задание линий на плоскости и в пространстве
- •Задача 1.5.3
- •Задача 1.5.4
- •Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями
- •Окружность
- •Эллипс
- •Астроида
- •Циклоида
- •Задача 1.5.5
- •1.5.6. Полярная система координат
- •Задача 1.5.6
- •Решение
- •Задача 1.5.7
- •Решение
- •Задача 1.5.8
- •Решение
- •Задача 1.5.9
- •Решение
- •1.6. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве
- •1.6.1. Уравнения прямой на плоскости
- •Теорема 1.6.1
- •Доказательство
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой с нормальным вектором
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми
- •Точка пересечения прямых
- •Расстояние от точки до прямой
- •1.6.2. Уравнения плоскости
- •Теорема 1.6.2.
- •Доказательство
- •Уравнение плоскости с нормальным вектором
- •Задача 1.6.5
- •Решение
- •Задача 1.6.6
- •Решение
- •Задача 1.6.7
- •Решение
- •Задача 1.6.8
- •Решение
- •Задача 1.6.9
- •Решение
- •Теорема 1.6.3
- •Задача 1.6.10
- •Решение
- •Задача 1.6.11
- •Решение
- •Теорема 1.6.4
- •Доказательство
- •Задача 1.6.12
- •Решение
- •Исследование общего уравнения плоскости
- •Определение
- •Задача 1.6.13
- •Решение
- •1.6.3. Уравнения прямой в пространстве
- •Теорема 1.6.5
- •Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
- •Параметрические уравнения прямой
- •Канонические уравнения прямой
- •Задача 1.6.14
- •Решение
- •Задача 1.6.15
- •Решение
- •Угол между прямыми
- •Условие перпендикулярности прямых
- •Условие параллельности прямых
- •Условия пересечения прямых в пространстве
- •Задача 1.6.16
- •Решение
- •Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
- •Задача 1.6.17
- •Решение
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Задача 1.6.18
- •Решение
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •Задача 1.6.19
- •Решение
- •1.7. Кривые и поверхности второго порядка
- •1.7.1. Кривые второго порядка
- •Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка
- •Уравнение эллипса
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение параболы
- •Уравнение пары пересекающихся прямых
- •Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
- •Уравнение, определяющее точку
- •Эллипс
- •Теорема 1.7.1
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Гипербола
- •Теорема 1.7.2
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой.
- •Определение 1.7.1
- •Теорема 1.7.3
- •Доказательство
- •Парабола
- •Теорема 1.7.4
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Задача 1.7.1
- •Решение
- •Преобразование координат на плоскости. Построение кривых заданных общим уравнением
- •Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
- •Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
- •Уравнение параболы с вершиной в точке
- •Задача 1.7.2
- •Решение
- •1.7.2. Поверхности второго порядка
- •Определение 1.7.2
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Конус второго порядка.
- •Цилиндры второго порядка
- •Определение 1.7.3
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический и параболический цилиндры
- •Задача 1.3.1
- •Решение
Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
Параметрические уравнения прямой
Прямая линия однозначно определена, если на ней задана точка M 0 (x0 , y0 , z0 ) и ненулевой вектор, параллельный этой прямой. В дальнейшем такой вектор будем называть направляющим
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то для любой точки M (x , y , z ), |
вектором. Если s = n - направляющий |
вектор, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принадлежащей прямой справедливо: s |
|
M 0M . Из определения коллинеарных векторов следует |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
соотношение M |
|
M = t s |
|
|
M |
|
|
|
|
||
0 |
. Так как вектор |
|
0 |
M = |
y − y |
0 |
, то последнее равенство равносильно |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
системе
x − x0 |
= mt |
|
= nt |
y − y0 |
|
|
= p t |
z − z0 |
Полученные три уравнения называются
параметром.
x = x0 |
+ mt |
|
|
, или y = y0 + nt . |
|
|
+ p t |
z = z0 |
параметрическими уравнениями прямой, а t -
Канонические уравнения прямой
Если использовать условие коллинеарности векторов, выраженное через их координаты, то получим уравнения, которые называются каноническими уравнениями прямой:
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
m |
n |
|
|||
|
|
p |
Задача 1.6.14
Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки M (− 2,−3, 4) и
N (2,−3,−1).
Решение
|
4 |
|
|
0 |
|
Вектор MN = |
параллелен прямой, следовательно, мы можем выбрать его в качестве |
|
|
−5 |
|
|
|
направляющего вектора. Подставляя в канонические уравнения прямой координаты любой из заданных точек, например M , получим систему канонических уравнений прямой
x + 2 |
= |
y + 3 |
= |
z − 4 |
|
|
|
|
. |
||
4 |
0 |
−5 |
ЗАМЕЧАНИЕ
Следует заметить, что канонические и параметрические уравнения прямой выглядят различно, в зависимости от того, координаты какой точки в них подставлены вместо чисел x0 , y0 и z0 . Кроме того,
в данной задаче одна из координат направляющего вектора равна нулю, а это означает, что один из знаменателей в канонических уравнениях равен нулю. Такая запись для канонических уравнений прямой
54
считается вполне допустимой. Чтобы понять, как в данном случае расположена в пространстве прямая, перейдем к параметрическим уравнениям. Для этого каждое из трех равных отношений обозначим через t и получим
x + 2 |
= 4 t |
x = 4t − 2 |
|
|
= 0 t , или |
|
y = −3 . Из последних уравнений ясно, что заданная прямая лежит в |
y +3 |
|
||
|
|
|
|
z − 4 = −5 t |
z = −5t + 4 |
плоскости y = −3 .
Задача 1.6.15
Составьте параметрические уравнения медианы, проведенной из вершины A в треугольнике ABC , если заданы координаты его вершин A(1, 4,−1), B (− 2, − 2,5) и C (3,1,−2).
Решение
На медиане |
AM задана точка A (рис. 1.6.9). Направляющим |
вектором |
для нее может |
||
|
|
|
|
−3 |
|
|
AD = AB + AC (рис. 8). Вычислим координаты |
|
|
− 6 |
|
являться вектор |
векторов |
AB = |
и |
||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−9 |
|
AC = |
−3 , |
а также вектора AD = |
. Подставим в параметрические уравнения прямой |
||
|
|
|
|
5 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
x = x0 + mt |
|
|
|
|
|
|
|
вместо m, n, p координаты вектора s = AD , а вместо x0 , y0 , z0 - координаты точки |
|||
y = y0 + nt |
|||||
|
+ p t |
|
|
|
|
z = z0 |
|
|
|
|
|
|
|
x =1 |
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
A . Получим y = 4 −9t . |
|
|
|||
|
|
|
+5t |
|
|
|
|
z = −1 |
|
|
A
C
M
B
D
Рис. 1.6.9.
Угол между прямыми
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
Пусть |
s1 |
= n1 |
и |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
s2 |
m2 |
|
|
|
= n |
2 |
- направляющие векторы двух прямых. Угол α |
между прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
определяется как угол между их направляющими векторами. Для косинуса этого угла справедлива формула:
55
|
|
, s2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
s1 |
|
|
m1m2 + n1n2 |
+ p1 p2 |
|
|||||||
cos α = |
|
|
|
|
|
= |
. |
||||||
|
s1 |
|
|
|
s2 |
|
m12 + n12 + p12 m12 + n12 + p12 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие перпендикулярности прямых
s1 , s2 = 0 или m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0.
Условие параллельности прямых
s 1 |
|
s2 |
или |
m1 |
= |
n1 |
= |
p1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
Условия пересечения прямых в пространстве
|
|
m |
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
M1(x1, y1, z1 ) и |
|
Если s1 |
= n1 |
|
и s2 |
= n2 |
- направляющие векторы двух прямых, а |
|||||
|
|
p |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
M 2 (x2 , y2 , z2 ) - точки на этих прямых, то прямые пересекаются или скрещиваются в зависимости от того, компланарны или нет векторы s1, s2 и M1M 2 (рис.9).
Прямые скрещиваются, если смешанное произведение s1 s2 M1M 2 ≠ 0 (рис.1.6.10 a).
Прямые пересекаются, если смешанное произведение s1 s2 M1M 2 = 0 (рис.1.6.10 b).
M 1
M 2 |
s2 |
Рис. 1.6.10 a.
s 1
s1 M 1
s 2
M 2
Рис. 1.6.10.b
Задача 1.6.16
При каком значении l прямые |
x + 2 |
= |
y |
|
= |
z −1 |
и |
x −3 |
= |
y −1 |
= |
z − 7 |
пересекаются? |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
− 3 |
|
l |
4 |
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
Решение
|
|
2 |
|
|
Для первой прямой: направляющий вектор s1 |
|
−3 |
|
M1(− 2, 0,1). Для второй |
= |
и точка |
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
прямой: направляющий вектор s2 |
|
4 |
|
M 2 (3,1, 7). Вычислим координаты вектора |
= |
и точка |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|