- •Раздел 1. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами
- •Виды квадратных матриц
- •Транспонирование матриц
- •Линейные операции над матрицами
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Задача 1.1.1
- •Решение
- •Умножение матриц
- •Задача 1.1.2
- •Решение
- •1.1.2. Определители
- •Определитель второго порядка
- •Определитель третьего порядка
- •Основные свойства определителей
- •Теорема разложения
- •Задача 1.1.3
- •Решение
- •1.1.3. Обратная матрица
- •Задача 1.1.4
- •Решение
- •1.1.4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования в матрице
- •Задача 1.1.5
- •Решение
- •1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- •1.2.1. Формулы Крамера
- •Задача 1.2.1
- •Решение
- •1.2.2. Матричный метод
- •Задача 1.2.2
- •Решение
- •Задача 1.2.3
- •Решение
- •Проверка
- •1.2.3. Метод Гаусса
- •Задача 1.2.4
- •Решение
- •Задача 1.2.5
- •Решение
- •1.2.4. Однородные системы
- •Определение 1.2.1
- •Решение
- •1.3. Векторы. Линейное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность линейного векторного пространства
- •1.3.1. Понятие вектора. Линейное векторное пространство.
- •Определение 1.3.1
- •1.3.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
- •Определение 1.3.2
- •Определение 1.3.3
- •Определение 1.3.4
- •Задача 1.3.2
- •Решение
- •Определение 1.3.5
- •Задача 1.3.3
- •Решение
- •1.3.3. Размерность и базис линейного пространства. Линейная зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве
- •Определение 1.3.6
- •Определение 1.3.7
- •1.3.4. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису
- •Определение 1.3.8
- •Определение 1.3.9
- •Определение 1.3.10
- •Определение 1.3.11
- •1.4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1.4.1. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Геометрический смысл скалярного произведения
- •Теорема 1.4.1.
- •Доказательство
- •Задача 1.4.1
- •Решение
- •Задача 1.4.2
- •Решение
- •Задачи, использующие скалярное произведение
- •Задача 1.4.3
- •Решение
- •2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора
- •Задача 1.4.4
- •Решение
- •3. Вычисление работы, производимой силой по перемещению материальной точки.
- •Задача 1.4.5
- •Решение
- •1.4.2. Векторное произведение
- •Определение 1.4.1
- •Задача 1.4.6
- •Решение
- •Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе
- •Задачи, использующие векторное произведение.
- •1. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника
- •Задача 1.4.7
- •Решение
- •2. Вычисление момента силы
- •Задача 1.4.8
- •Решение
- •3. Определение вектора, ортогонального двум данным
- •Задача 1.4.9
- •Решение
- •1.4.3. Смешанное произведение
- •Определение 1.4.2
- •Свойства смешанного произведения
- •Задачи, использующие смешанное произведение
- •Задача 1.4.10
- •Решение
- •Задача 1.4.11
- •Решение
- •Задача 1.4.12
- •Решение
- •1.5. Кривые на плоскости и поверхности в пространстве
- •1.5.1. Метод координат на плоскости
- •1.5.2. Линии на плоскости
- •Определение
- •Задача 1.5.1
- •Решение
- •1.5.3. Метод координат в пространстве
- •1.5.4. Поверхности в пространстве и их уравнения
- •Задача 1.5.2
- •1.5.5. Линии в пространстве. Параметрическое задание линий на плоскости и в пространстве
- •Задача 1.5.3
- •Задача 1.5.4
- •Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями
- •Окружность
- •Эллипс
- •Астроида
- •Циклоида
- •Задача 1.5.5
- •1.5.6. Полярная система координат
- •Задача 1.5.6
- •Решение
- •Задача 1.5.7
- •Решение
- •Задача 1.5.8
- •Решение
- •Задача 1.5.9
- •Решение
- •1.6. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве
- •1.6.1. Уравнения прямой на плоскости
- •Теорема 1.6.1
- •Доказательство
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой с нормальным вектором
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми
- •Точка пересечения прямых
- •Расстояние от точки до прямой
- •1.6.2. Уравнения плоскости
- •Теорема 1.6.2.
- •Доказательство
- •Уравнение плоскости с нормальным вектором
- •Задача 1.6.5
- •Решение
- •Задача 1.6.6
- •Решение
- •Задача 1.6.7
- •Решение
- •Задача 1.6.8
- •Решение
- •Задача 1.6.9
- •Решение
- •Теорема 1.6.3
- •Задача 1.6.10
- •Решение
- •Задача 1.6.11
- •Решение
- •Теорема 1.6.4
- •Доказательство
- •Задача 1.6.12
- •Решение
- •Исследование общего уравнения плоскости
- •Определение
- •Задача 1.6.13
- •Решение
- •1.6.3. Уравнения прямой в пространстве
- •Теорема 1.6.5
- •Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
- •Параметрические уравнения прямой
- •Канонические уравнения прямой
- •Задача 1.6.14
- •Решение
- •Задача 1.6.15
- •Решение
- •Угол между прямыми
- •Условие перпендикулярности прямых
- •Условие параллельности прямых
- •Условия пересечения прямых в пространстве
- •Задача 1.6.16
- •Решение
- •Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
- •Задача 1.6.17
- •Решение
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Задача 1.6.18
- •Решение
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •Задача 1.6.19
- •Решение
- •1.7. Кривые и поверхности второго порядка
- •1.7.1. Кривые второго порядка
- •Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка
- •Уравнение эллипса
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение параболы
- •Уравнение пары пересекающихся прямых
- •Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
- •Уравнение, определяющее точку
- •Эллипс
- •Теорема 1.7.1
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Гипербола
- •Теорема 1.7.2
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой.
- •Определение 1.7.1
- •Теорема 1.7.3
- •Доказательство
- •Парабола
- •Теорема 1.7.4
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Задача 1.7.1
- •Решение
- •Преобразование координат на плоскости. Построение кривых заданных общим уравнением
- •Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
- •Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
- •Уравнение параболы с вершиной в точке
- •Задача 1.7.2
- •Решение
- •1.7.2. Поверхности второго порядка
- •Определение 1.7.2
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Конус второго порядка.
- •Цилиндры второго порядка
- •Определение 1.7.3
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический и параболический цилиндры
- •Задача 1.3.1
- •Решение
В частном случае, числовая ось представляет собой пространство размерности 1. Если на плоскости выбрать систему координат (или начало отсчёта, от которого откладываются все векторы), то она превращается в пространство размерности 2. Пространство геометрических тел имеет размерность, равную 3, а пространство-время специальной теории относительности – 4.
1.3.4. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Координаты x , x ,..., x |
v |
= |
x |
|
Rn |
– это координаты его в некотором |
||
любого вектора x |
|
2 |
|
|||||
1 2 |
n |
|
|
... |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
заданной базисе ev1, ev2,..., evn , то есть xv = x1ev1 + x2ev2 +... + xnevn .
Требуется найти координаты вектора x в новом базисе ev1′, ev2′,..., evn′ , и заданы координаты
e11
ev1′, ev2′,..., evn′ в старом базисе ev1, ev2,..., evn : ev1′ = e21 ,
e...
n1
e12
ev2′ = e22
...
en2
,…, evn′
e1n = e2n
e...
nn
, то следует
|
e |
e |
|
... |
|
e |
|
|
||
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
1n |
|
|
составить матрицу перехода |
e21 |
e22 |
|
... |
|
e2n |
, поставив координаты векторов нового |
|||
H = |
|
|
|
|
... |
|
... |
|
||
|
... ... |
|
|
|
|
|||||
|
e |
e |
|
... |
|
e |
|
|
||
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
базиса в ее столбцы. Тогда |
вектор |
v |
|
x2′ |
|
с |
координатами x1′, x2′ ,..., xn′ в новом базисе |
|||
x′ = |
... |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
определяется из матричного уравнения x = H x′, решение которого при невырожденной матрице
|
|
|
|
|
v′ |
= H |
−1 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H имеет вид: x |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 1.3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|
|
−2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
v |
|
|
v |
|
|
v |
|
|
|
Разложить вектор x |
= 3 |
|
по базису векторов: e1′ = 2 |
|
, e2′ |
= |
0 |
и e3′ |
= |
1 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
|
3 |
|
−1 |
|||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− 2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
Матрица |
перехода |
будет |
иметь вид: H = 2 |
0 |
|
1 . |
Обратная |
к |
ней матрица: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−3 |
−5 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H −1 = − |
|
|
1 |
− 2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
. Тогда вектор в новом базисе имеет вид: |
|
|
|
|
||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
6 |
−1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−3 |
−5 |
−2 |
−2 |
|
1 |
|
|
−11 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
v |
−1 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
v |
||||||
x′ = H |
|
x |
= − |
|
|
|
|
1 |
− 2 |
−3 |
|
|
3 |
|
= − |
|
|
|
|
−11 |
= 1 . Это значит, что x |
= e1′+e2′ |
+e3′. |
|||||||
|
11 |
11 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
−1 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−11 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
v |
x = x . |
|||||
Если матрицей перехода является единичная матрица E = |
|
... |
... |
|
|
x′ = E |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
... |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Это означает, что координаты вектора xv Rn не меняются при переходе к базису ev1′ = 0 ,
...0
0
ev2′ = 1 ,…, evn′...0
0
=0 . Этот базис называют каноническим.
...1
1.3.5. Евклидово пространство. Скалярное произведение и норма вектора в линейном пространстве. Ортонормированный базис. Длина и направляющие косинусы вектора в пространстве R3 .
Определение 1.3.8
Линейное пространство называется евклидовым, если любым двум его элементам x и y ставится в соответствие вещественное число, которое обозначается (x, y) и называется скалярным произведением и которое подчинено следующим аксиомам:
•(x, y)= (y, x);
•(x + z, y)= (x, z)+ (y, z), где z – элемент линейного пространства;
•(λx, y)= λ(x, y), где λ – вещественное число;
•(x, x)≥ 0 , (x, x)= 0 , если x – нулевой элемент.
Примером евклидова пространства является n |
– мерное |
векторное |
пространство Rn , в |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
котором скалярное произведение двух векторов |
r |
x2 |
|
и |
r |
|
y2 |
|
определяется |
|
x |
= |
|
y |
= |
|
|
||||
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
соотношением:
(xr, y) = ∑n xi yi = x1 y1 + x2 y2 +... + xn yn .
i =1
Несложно проверить, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем четырем аксиомам.
18
Определение 1.3.9
Нормой элемента x в линейном пространстве называется вещественное число x , которое ставится в соответствие этому элементу и которое подчинено следующим аксиомам:
•x ≥ 0 , x = 0 , если x – нулевой элемент;
•λx = λ x , где λ – вещественное число;
•x + y ≤ x + y (неравенство Минковского), где y элемент линейного пространства.
Если линейное пространство является евклидовом, то определенная равенством x = (x, x)
норма удовлетворяет всем требуемым аксиомам.
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Если в евклидовом пространстве введена норма, то оно называется нормированным.
В конечномерном векторном пространстве Rn норма вектора xr
n
соотношением: x = (x, x)= ∑xi2 = x12 + x22 +... + xn2 . Норма i=1
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
определяется |
|||
= |
|
||||
... |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
x |
|
вектора |
|
|
|||
a |
= y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
пространства R3 , которая выражается через координаты вектора по формуле: ar = x2 + y2 + z2 равна длине направленного отрезка, являющегося изображением вектора.
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Норму вектора пространства R3 чаще называют модулем или длиной вектора. Для модуля вектора ar используют обозначение: ar .
ЗАМЕЧАНИЕ 3
Если норма элемента (вектора) евклидова пространства x =1 , то он называется нормированным.
Задача 1.3.5
r |
|
1 |
|
r |
|
− 2 |
|
|
|
− 2 |
|
|
4 |
|
R3 равно: |
||
Скалярное произведение векторов x |
= |
и |
y |
= |
пространства |
|||
|
3 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
r |
r |
(− 2)− |
2 4 +3 (− 2)= −16 |
r |
= |
|
|
r |
= |
|
|
||
(x |
, y)=1 |
. Скалярное произведение векторов x |
|
− 4 |
|
и y |
|
−1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
равно: (xr, yr)= 0 2 + 3 1 − 4 (−1)−1 (− 2)= 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
пространства R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
Задача 1.3.6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Норма |
вектора |
xr |
= −3 |
пространства R3 |
равна: |
|
|
x |
|
|
|
= |
22 + (−3)2 + 42 = |
|
29 . |
Норма |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
пространства R4 |
равна: |
|
x |
|
= |
(−1)2 + 0 +12 + 42 = 3 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
вектора x |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1.3.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Два |
элемента |
евклидова |
пространства x и y называются ортогональными, |
если |
их |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
скалярное произведение (x, y) равно нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
|
1 |
r |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(i , j )= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Например, векторы i |
|
|
и j |
= |
ортогональны, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 1.3.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Базис векторов |
e , e ,..., e |
n – мерного векторного евклидова пространства R n |
называется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ортонормированным, если: |
|
|
|
(eri , erj )= 0, i ≠ j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, i = j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ортонормированным |
|
|
базисом |
пространства |
R n |
является |
|
|
базис |
|
векторов |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e1 |
= , e2 = , en |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
|
r |
0 |
|
r |
0 |
|
|||
|
В пространстве R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
||||||||||
|
ортонормированным базисом являются векторы i |
= |
, |
j |
= |
|
k |
= |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ориентация вектора (направленного отрезка) в пространстве R3 определяется углами α, β, γ , которые он образует с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно (рис. 1.3.5).
1.3.6. Проекция вектора на числовую ось. Декартова система координат. Линейные операции над векторами в R3 .
Рассмотрим числовую ось Ox и вектор (направленный отрезок) AB (рис. 1.3.1). Проекцией вектора на числовую ось называют длину отрезка этой оси между проекциями конечной и начальной точек вектора на ось, если вектор и ось направлены в одну сторону. Если вектор и ось направлены в разные стороны, то проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси между проекциями конечной и начальной точек вектора, взятая со знаком минус (рис. 1.3.1).
20
B B
A A
_____
O 123
_____
x O 123
ПрOx AB >0 |
ПрOx AB <0 |
Рис. 1.3.1.
В трехмерном пространствеR3 , являющемся частным случаем конечномерного векторного пространства Rn , введем прямоугольную декартову систему координат.
r |
|
1 |
|
r |
|
0 |
r |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|||
Для этого векторы i |
= |
, |
j |
= |
|
и k |
= |
, образующие в пространстве R3 базис, |
|||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изобразим взаимно перпендикулярными отрезками единичной длины, направленными вдоль координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда вектор a = xir+ yrj + zk пространства R3 ,
разложенный по этому базису, можно изображать отрезком OM с началом в начале координат и с концом в точке M (x, y, z) (рис.1.3.2). Координаты вектора a в такой системе координат являются
проекциями OM или точки M на координатные оси.
z
|
zi |
|
M |
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
a |
|
|
|
k |
|
|
|
i |
O |
j |
yj |
|
|
|
y |
||
|
|
|
||
xi |
|
|
|
|
x
Рис.1.3.2.
ЗАМЕЧАНИЕ
R3 часто используют обозначение: a = {x; y; z}, где x, y, z -
Начало направленного отрезка, являющегося изображением вектора ar может параллельным переносом помещаться в любую точку пространства. Проекции вектора на координатные оси при этом не изменятся. Если начало направленного отрезка в точке A(x1; y1; z1), а конец в точке B(x2; y2; z2 ), то соответствующий вектор ar = AB = {x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}(рис. 1.3.3)
z z2
z1 A B
O |
y1 |
y2 |
x1 |
|
y |
x2
x
Рис. 1.3.3.
21
В следующей таблице собраны формулы для нахождения координат линейных операций над
векторами трехмерного пространства R3 .
Сложение
|
r |
x |
x |
|
x |
+ x |
|
|
|||||
ar |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|||||
+b |
= y1 |
+ y2 |
= y1 + y2 |
. |
|||||||||
|
|
z |
z |
2 |
z |
+ z |
2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
Вычитание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
x |
x |
x |
− x |
2 |
|
||||||
ar |
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
||||
−b |
= y1 − y2 |
= y1 − y2 |
|
||||||||||
|
|
z |
z |
2 |
z |
− z |
2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Умножение на число |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
x |
|
|
λx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
λa = λ y1 |
= |
λ y1 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
z |
|
|
λz |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
a |
r |
+b |
|
|
|
b |
r |
|
a |
|
a |
|
|||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
r |
|
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
+b |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
a |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
b |
|
|
|
|
|
r |
− |
|
|
|
|
|
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ a |
|
λ ar |
|
λ < 0 O |
|
r |
λ > 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a |
|
|
a O
Базис в пространстве R 3 образуют любые три линейно независимых (некомпланарных) вектора.
Тройка некомпланарных векторов называется правой (базисом с правой ориентацией), если из конца третьего вектора вращение от первого к второму происходит против часовой стрелки.
Если из конца третьего вектора вращение от первого к второму происходит по часовой стрелке, то тройка некомпланарных векторов называется левой (базисом в правой ориентацией)
На рисунке 1.3.4 a тройка векторов ar, b, cr – правая, а на рисунке 1.3.4 b – левая.
c c
|
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
Рис. 1.3.4 a. |
|
|
Рис. 1.3.4 b. |
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Из рисунка 1.3.3 ясно, что тройка векторов i , j, k правая, а показанная на этом рисунке система
координат (поворот от одной оси к последующей, от Ox к Oy , от Oy к Oz и от Oz к Ox . происходит против часовой стрелки) задает правую ориентацию пространства.
z |
|
|
r |
|
a |
|
γ |
|
β |
O |
y |
|
α |
x
22