B
D
A
C
Рис. 14.11.
1.5. Кривые на плоскости и поверхности в пространстве
Вводные замечания о предмете и методе аналитической геометрии. Понятие о многомерной евклидовой геометрии. Множества точек, обладающих и не обладающих заданным свойствам. Уравнение линии на плоскости. Уравнение линии и поверхности в пространстве. Классификация линий и поверхностей. Параметрическое задание линии на плоскости и в пространстве: прямая, окружность, циклоида, астроида, эллипс, гипербола, винтовая линия. Полярная система координат. Кривые в полярной системе координат.
Основным методом аналитической геометрии является задание геометрических образов, т.е. множеств точек на плоскости и в пространстве алгебраическими уравнениями. Для этого на плоскости или в пространстве должна быть введена система координат.
1.5.1. Метод координат на плоскости
Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат x, y с началом в некоторой точке O . Произвольную точку M в этой системе координат будем задавать ее координатами
M (x, y ). Вектор |
x |
из пространства |
R2 будем представлять в виде a = x i + y j |
где x, y |
|
a = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
– его координаты в стандартном ортонормированном базисе |
|
|
1 |
, |
|
0 |
и изображать |
||||||||||||||||||
i = |
|
j = |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
направленным отрезком OM , начало которого может быть перенесено в любую точку плоскости |
|||||||||||||||||||||||||
(рис.1.5.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
i |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Расстояние |
r |
|
между |
|
точками |
M1(x1, y1) |
и M2 (x2 , y2 ) определяется |
по формуле |
||||||||||||||||
r = |
(x − x )2 |
+ (y |
2 |
− y )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты |
точки |
M |
0 |
(x , y |
), |
делящей |
отрезок |
M M |
2 |
в |
отношении |
λ = |
M1M0 |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M0M2
отыскиваются по формулам:
33