z
c C
B y
a |
b |
A |
|
x |
|
|
Рис. 1.6.8. |
|
|
− a |
|
− a |
|
i |
||
|
|
b |
|
|
0 |
|
n = |
− a |
Поскольку |
AB = |
и |
AC = |
, то |
||||
|
|
0 |
|
|
c |
|
|
− a |
|
|
|
|
|
|
|||
j k
b 0 =
0 c
bc bci + ac j + abk = ac .
ab
Подставим координаты точки A и вектора n в уравнение плоскости с нормальным вектором
A(x − x0 )+ В(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0. Получим
bc (x − a)+ ac (y − 0)+ ab (z − 0)= 0 или bc x + ac y + ab z = abc .
Каждое слагаемое последнего уравнения разделим на произведение abc и получим уравнение ax + by + cz =1, что и требовалось доказать.
Задача 1.6.12
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,−1, 3) и отсекающей на координатных осях отрезки, равной длины.
Решение
Уравнение плоскости будем искать в виде |
x |
|
+ |
y |
|
+ |
z |
=1. Из условия |
|
a |
|
= |
|
b |
|
= |
|
c |
|
возможны |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
следующие случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A , |
|||||
1. |
a = b = c , тогда имеем x + y + z = a и, подставив в это уравнение координаты точки |
||||||||||||||||||||||||
найдем a : 1−1+ 3 = a , или a = 3; тогда уравнение плоскости запишется |
|
x + y + z = 3. |
|
||||||||||||||||||||||
2. |
a = b = −c , |
тогда x + y − z = a и для a |
получим |
1−1− 3 = a , |
|
или a = −3; |
|
уравнение |
|||||||||||||||||
плоскости примет вид x + y + z = −3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
− a = b = c , |
− x + y + z = a ; подставляем |
в это |
уравнение |
координаты |
|
точки |
A : |
|||||||||||||||||
−1−1+ 3 = a , или a =1; тогда уравнение плоскости |
− x + y + z =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
a = −b = c , |
x − y + z = a , 1+1+ 3 = a , или a = 5; тогда уравнение плоскости запишется в |
|||||||||||||||||||||||
виде x − y + z = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исследование общего уравнения плоскости
Определение
Уравнение A x + B y +C z + D = 0, где A , B и C - координаты нормального вектора n ,
называется общим уравнением плоскости.
Рассмотрим различные случаи расположения плоскости в зависимости от коэффициентов в ее общем уравнении.
52