A |
|
= det A = |
a11 |
a12 |
= a a |
22 |
−a a |
|
|
||||||||
|
|
|
a12 |
a22 |
11 |
21 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определитель третьего порядка
Определитель квадратной матрицы третьего порядка (определитель третьего порядка)
a |
a |
a |
|
11 |
12 |
13 |
|
A = a21 |
a22 |
a23 |
вычисляется через ее элементы по следующей формуле: |
a |
a |
a |
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
A |
|
= det A = |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − |
|
||||||
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12 .
Схематично правило вычисления определителя третьего порядка показано на рис. 1.1.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
- |
- |
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
a11 |
a12 |
|
= |
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
= |
a21 |
a22 |
a23 |
a21 |
a22 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ |
Рис. 1.1.2
Определитель квадратной матрицы n – го порядка (n ≥ 4) вычисляется с использованием свойств определителей.
Основные свойства определителей
1.Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
2.Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет
знак.
3.Определитель с двумя пропорциональными (равными) строками (столбцами) равен нулю.
4.Если в определители строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
5.Общий множитель у элементов какой либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6.Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
7.Определитель диагональной и треугольной (верхней и нижней) матриц равен произведению диагональных элементов.
8.Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.
Минором элемента |
aij |
в определителе называется определитель, который получится |
из |
|||
данного вычеркиванием i - ой строки и |
j - ого столбца. Для минора используют обозначение |
ij . |
||||
Алгебраическим дополнением Aij |
элемента |
aij в определителе называется число, которое |
||||
вычисляется по правилу: |
A |
= (−1)i+ j |
ij , где |
ij |
- соответствующий минор. |
|
|
ij |
|
|
|
|
|
5