- •Раздел 1. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия
- •1.1. Матрицы и определители
- •1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами
- •Виды квадратных матриц
- •Транспонирование матриц
- •Линейные операции над матрицами
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Задача 1.1.1
- •Решение
- •Умножение матриц
- •Задача 1.1.2
- •Решение
- •1.1.2. Определители
- •Определитель второго порядка
- •Определитель третьего порядка
- •Основные свойства определителей
- •Теорема разложения
- •Задача 1.1.3
- •Решение
- •1.1.3. Обратная матрица
- •Задача 1.1.4
- •Решение
- •1.1.4. Ранг матрицы. Элементарные преобразования в матрице
- •Задача 1.1.5
- •Решение
- •1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- •1.2.1. Формулы Крамера
- •Задача 1.2.1
- •Решение
- •1.2.2. Матричный метод
- •Задача 1.2.2
- •Решение
- •Задача 1.2.3
- •Решение
- •Проверка
- •1.2.3. Метод Гаусса
- •Задача 1.2.4
- •Решение
- •Задача 1.2.5
- •Решение
- •1.2.4. Однородные системы
- •Определение 1.2.1
- •Решение
- •1.3. Векторы. Линейное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность линейного векторного пространства
- •1.3.1. Понятие вектора. Линейное векторное пространство.
- •Определение 1.3.1
- •1.3.2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
- •Определение 1.3.2
- •Определение 1.3.3
- •Определение 1.3.4
- •Задача 1.3.2
- •Решение
- •Определение 1.3.5
- •Задача 1.3.3
- •Решение
- •1.3.3. Размерность и базис линейного пространства. Линейная зависимость любых четырех векторов в трехмерном пространстве
- •Определение 1.3.6
- •Определение 1.3.7
- •1.3.4. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису
- •Определение 1.3.8
- •Определение 1.3.9
- •Определение 1.3.10
- •Определение 1.3.11
- •1.4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1.4.1. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Геометрический смысл скалярного произведения
- •Теорема 1.4.1.
- •Доказательство
- •Задача 1.4.1
- •Решение
- •Задача 1.4.2
- •Решение
- •Задачи, использующие скалярное произведение
- •Задача 1.4.3
- •Решение
- •2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора
- •Задача 1.4.4
- •Решение
- •3. Вычисление работы, производимой силой по перемещению материальной точки.
- •Задача 1.4.5
- •Решение
- •1.4.2. Векторное произведение
- •Определение 1.4.1
- •Задача 1.4.6
- •Решение
- •Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе
- •Задачи, использующие векторное произведение.
- •1. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника
- •Задача 1.4.7
- •Решение
- •2. Вычисление момента силы
- •Задача 1.4.8
- •Решение
- •3. Определение вектора, ортогонального двум данным
- •Задача 1.4.9
- •Решение
- •1.4.3. Смешанное произведение
- •Определение 1.4.2
- •Свойства смешанного произведения
- •Задачи, использующие смешанное произведение
- •Задача 1.4.10
- •Решение
- •Задача 1.4.11
- •Решение
- •Задача 1.4.12
- •Решение
- •1.5. Кривые на плоскости и поверхности в пространстве
- •1.5.1. Метод координат на плоскости
- •1.5.2. Линии на плоскости
- •Определение
- •Задача 1.5.1
- •Решение
- •1.5.3. Метод координат в пространстве
- •1.5.4. Поверхности в пространстве и их уравнения
- •Задача 1.5.2
- •1.5.5. Линии в пространстве. Параметрическое задание линий на плоскости и в пространстве
- •Задача 1.5.3
- •Задача 1.5.4
- •Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями
- •Окружность
- •Эллипс
- •Астроида
- •Циклоида
- •Задача 1.5.5
- •1.5.6. Полярная система координат
- •Задача 1.5.6
- •Решение
- •Задача 1.5.7
- •Решение
- •Задача 1.5.8
- •Решение
- •Задача 1.5.9
- •Решение
- •1.6. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве
- •1.6.1. Уравнения прямой на плоскости
- •Теорема 1.6.1
- •Доказательство
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой с нормальным вектором
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми
- •Точка пересечения прямых
- •Расстояние от точки до прямой
- •1.6.2. Уравнения плоскости
- •Теорема 1.6.2.
- •Доказательство
- •Уравнение плоскости с нормальным вектором
- •Задача 1.6.5
- •Решение
- •Задача 1.6.6
- •Решение
- •Задача 1.6.7
- •Решение
- •Задача 1.6.8
- •Решение
- •Задача 1.6.9
- •Решение
- •Теорема 1.6.3
- •Задача 1.6.10
- •Решение
- •Задача 1.6.11
- •Решение
- •Теорема 1.6.4
- •Доказательство
- •Задача 1.6.12
- •Решение
- •Исследование общего уравнения плоскости
- •Определение
- •Задача 1.6.13
- •Решение
- •1.6.3. Уравнения прямой в пространстве
- •Теорема 1.6.5
- •Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
- •Параметрические уравнения прямой
- •Канонические уравнения прямой
- •Задача 1.6.14
- •Решение
- •Задача 1.6.15
- •Решение
- •Угол между прямыми
- •Условие перпендикулярности прямых
- •Условие параллельности прямых
- •Условия пересечения прямых в пространстве
- •Задача 1.6.16
- •Решение
- •Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
- •Задача 1.6.17
- •Решение
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Задача 1.6.18
- •Решение
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •Задача 1.6.19
- •Решение
- •1.7. Кривые и поверхности второго порядка
- •1.7.1. Кривые второго порядка
- •Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка
- •Уравнение эллипса
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение параболы
- •Уравнение пары пересекающихся прямых
- •Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
- •Уравнение, определяющее точку
- •Эллипс
- •Теорема 1.7.1
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Гипербола
- •Теорема 1.7.2
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой.
- •Определение 1.7.1
- •Теорема 1.7.3
- •Доказательство
- •Парабола
- •Теорема 1.7.4
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Задача 1.7.1
- •Решение
- •Преобразование координат на плоскости. Построение кривых заданных общим уравнением
- •Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
- •Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
- •Уравнение параболы с вершиной в точке
- •Задача 1.7.2
- •Решение
- •1.7.2. Поверхности второго порядка
- •Определение 1.7.2
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Конус второго порядка.
- •Цилиндры второго порядка
- •Определение 1.7.3
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический и параболический цилиндры
- •Задача 1.3.1
- •Решение
Из определения полярных координат следует, что уравнение ρ = r задает на плоскости
окружность с центром в полюсе и радиусом r , а уравнение ϕ = α задает на плоскости луч,
проходящий через полюс и составляющий с полярной осью угол α, в частности уравнения полярной оси ϕ = 0.
y
y M y
ϕ
O |
x |
x |
Рис. 1.5.8.
Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, то, как легко видеть из рис. 1.5.8, декартовы координаты x и y выражаются через полярные координаты из соотношений
x = ρcos ϕy = ρsin ϕ
Если каждое уравнение системы возвести в квадрат и сложить их, то получим уравнение
ρ2 = x2 + y2 , из которого по заданным декартовым координатам можно определить полярный радиус.
Задача 1.5.6
Построить кривую, заданную в полярных координатах ρ = ϕ.
Решение
Кривая, заданная уравнением ρ = ϕ, называется спиралью Архимеда.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.5.2 |
ϕ |
|
0 |
|
|
|
π |
π |
|
3π |
|
2π |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ρ |
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
3π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
На лучах ϕ = 0 , ϕ = |
π |
, ϕ = π, ϕ = |
3π |
|
и ϕ = 2π (последний луч совпадает с полярной осью) |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
отложим соответствующие значения ρ. Из уравнения кривой следует, что при увеличении ϕ полярный радиус ρ возрастает. Кривая построена на рис. 1.5.9.
O |
x |
Рис. 1.5.9.
Задача 1.5.7
Построить кривую, заданную в полярной системе координат ρ = 1+ cos ϕ.
39
Решение |
|
периодическая функция и 1+ cos(ϕ + 2πk )= 1+ cos ϕ для любого целого |
||||||||||||
Поскольку cos ϕ - |
||||||||||||||
k , то достаточно исследовать функцию при 0 ≤ ϕ ≤ 2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.5.3 |
|
ϕ |
0 |
π |
|
π |
3π |
|
π |
5π |
|
|
3π |
7π |
2π |
|
4 |
|
2 |
4 |
|
4 |
|
|
2 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ρ |
2 |
1+ |
2 |
1 |
1 − |
2 |
0 |
1− |
|
2 |
1 |
1 + |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.5.10. |
|
|
|
|
|
|
|
Отметим точки (ϕ, ρ) на плоскости в полярной системе координат и построим
соответствующую кривую. Ее вид показан на рисунке 1.5.10. Построенная кривая называется
кардиоидой.
Задача 1.5.8
Построить кривую, заданную уравнением (x2 + y2 )2= x2 − y2 , перейдя к полярным координатам.
Решение
Воспользуемся формулами, связывающими декартовы координаты с полярными координатами
ρ2 = x2 + y2 |
x = ρcos ϕ |
|
и |
. |
|
|
y = ρsin ϕ |
|
Тогда уравнение заданной кривой можно записать в виде |
|
ρ4 = ρ2 cos2 ϕ−ρ2 sin 2 ϕ, или ρ4 = ρ2 (cos2 ϕ−sin 2 ϕ).
Сокращая последнее уравнение на ρ2 и используя формулу cos 2ϕ = cos2 ϕ−sin 2 ϕ, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 = cos 2ϕ , или ρ = |
cos 2ϕ . |
|||||||||||
Поскольку cos 2ϕ - периодическая функция с периодом |
|
2π |
= π, то можно построить кривую на |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
промежутке |
− |
|
π |
≤ ϕ ≤ |
π |
, |
длина |
которого равна периоду функции, а затем использовать |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
периодичность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
На промежутке |
− |
π |
|
≤ ϕ ≤ |
π |
|
, функция определена только при cos 2ϕ ≥ 0, что равносильно |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
неравенству |
− |
π |
≤ 2ϕ ≤ |
π |
|
, или − |
π |
≤ ϕ ≤ |
π |
. Поэтому найдем несколько точек на кривой при ϕ из |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
промежутка |
− |
π |
≤ ϕ ≤ |
π |
|
и нанесем их на плоскость в полярной системе координат. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.5.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
π |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|