x |
= |
|
x1 + λx2 |
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
1 + λ . |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y1 + λy2 |
||
y0 |
= |
|
|
|||
|
1 + λ |
|
||||
1.5.2. Линии на плоскости
Определение
Алгебраическое уравнение f (x , y )= 0 является уравнением линии Φ на плоскости, если:
1.Для любой точки M0 (x0 , y0 ) Φ f (x0 , y0 )= 0 .
2.Для любого решения x0 , y0 уравнения f (x , y )= 0 точка M0 (x0 , y0 ) Φ.
ЗАМЕЧАНИЕ
Из определения следует, что линия на плоскости задается алгебраическим уравнением, связывающим координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой линии.
Задача 1.5.1
Написать уравнение множества точек, находящихся на расстоянии r от точки M0 (x0 , y0 ).
Решение
Покажем, что уравнение данного множества имеет вид (x − x0 )2 |
+(y − y0 )2 +(z − z0 )2 = r 2 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Пусть точка M (x,y) принадлежит данному множеству. Рассмотрим вектор M0 M = y − y |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Поскольку |
|
M 0M |
|
= r , то |
|
M 0M |
|
2 |
= r 2 , т.е. (x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 = r 2 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если же точка M (x,y) не принадлежит данному множеству, то |
|
M 0M |
|
> r или |
|
M 0M |
|
< r , |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и, следовательно, ее координаты x, y не удовлетворяют этому уравнению. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.5.3. Метод координат в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Введем в пространстве |
прямоугольную декартову систему координат |
x, y, z |
с началом в |
||||||||||||||||
некоторой |
|
точке O . Произвольную точку |
M в этой системе координат будем |
задавать |
ее |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координатами M (x , y , z ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OM , начало |
|||||||||
Вектор |
a = y |
изображать направленным отрезком |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которого может быть перенесено в любую точку пространства (рис.1.5.2). z
z
M
O |
y |
|
y |
||
|
x
x
Рис.1.5.2.
34