Тема 4. Расчет линейных цепей методом узловых

НАПРЯЖЕНИЙ

Метод узловых напряжений основан на применении первого закона Кирхгофа. Он заключается в том, что токи всех ветвей выражаются через так называемые “узловые напряжения”, которые рассматриваются в уравнениях в качестве независимых переменных.

У

U_kk = φ_k – φ₀.

зловым напряжением k-того узла U_kk называется разность потенциалов между k-м узлом и базисным - нулевым узлом:

Потенциал базисного узла принимают равным нулю φ₀ = 0, поэтому узловое напряжение k-того узла численно равно потенциалу k–того узла: U_kk = φ_k. Напряжение между двумя узлами можно выразить через узловые напряжения: U_kn = U_kk – U_nn.

Сокращенная система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных узловых напряжений, называется системой узловых уравнений цепи.

Токи в ветвях определяют по найденным в результате решения уравнений узловым напряжениям по закону Ома: i_k = U_kk·g, где g – проводимость ветви, через которую течет ток i_k.

Рассмотрим методику формирования узловых уравнений при решении конкретной задачи.

Пример 4.1. Для схемы рис.4.1 составить систему узловых уравнений по первому закону Кирхгофа, в которой за независимые переменные принять узловые напряжения.

Р ешение. Схема цепи содержит три узла. Выберем произвольно два независимых узла и положительные направления токов в ветвях, как показано на рис.4.2. Будем рассматривать два независимых узловых напряжений U₁₁ = φ₁ – φ₀ = φ₁ и U₂₂ = φ₂ – φ₀ = φ₂, положительные направления которых показаны на рис 4.2. Напряжение между первым и вторым узлами можно выразить через узловые напряжения U₁₂ = U₁₁ – U₂₂. Запишем два уравнения для независимых 1 и 2 узлов по первому закону Кирхгофа:

i ₁ + i₂ + i₃ = 0;

–i₃ + i₄ = J. (4.1)

Выразим четыре неизвестных тока i₁ ÷ i₄ через два узловых напряжения U₁₁ и U₂₂. Ток i₁ протекает в цепи, в которой включен источник напряжения, ЭДС которого направлена против тока i₁. Поэтому i₁ = (U₁₁ – E)g₁. Направление тока i₂ совпадает с направлением U₁₁. Отсюда i₂ = U₁₁·g₁. Ток i₃ протекает между двумя узлами, поэтому i₃ = U₁₂·g₃ = (U₁₁ – U₂₂)g₃. Ток i₄ протекает так же как i₂ – i₄ = U₂₂·g₄.

Подставляя выражения токов в уравнения (4.1) и группируя слагаемые при одинаковых напряжениях, получим систему уравнений для определения двух неизвестных узловых напряжений

U ₁₁·(g₁ + g₂ + g₃) – U₂₂ ·g₃ = E·g₁;

–U₁₁·g₃ + U₂₂·(g₃ + g₄) = J. (4.2)

Анализируя два уравнения в системе (4.2), нетрудно установить, что они имеют одинаковую структуру. В первом уравнении, составленном для первого узла, узловое напряжение U₁₁ умножается на сумму проводимостей ветвей, подключенных к первому узлу G₁₁ = (g₁ + g₂ + g₃). Во втором уравнении, записанном для второго узла, напряжение U₂₂ также умножается на сумму проводимостей ветвей, подключенных ко второму узлу G₂₂ = g₃ + g₄.

Если распространить эту закономерность в двух уравнениях на общий случай, то можно ввести новое понятие: собственная проводимость i-го узла Y_ii. Она равна сумме проводимостей ветвей, подключенных к i-ому узлу. В нашем примере это G₁₁ и G₂₂.

Продолжая структурный анализ уравнений, видим, что в них есть члены, равные произведению узлового напряжения соседнего узла на проводимость ветви, соединяющей два узла: U₂₂∙(–g₃) = U₂₂∙G₁₂ – в первом уравнении и

U₁₁∙(–g₃) = U₁₁∙G₂₁ – во втором уравнении. Проводимости G₁₂ = –g₃ и G₂₁ = –g₃ называют общими (взаимными) проводимостями i-го и j-го узлов: Y_ij = Y_ji. Они равны сумме проводимостей ветвей, включенных непосредственно между этими узлами, взятой с обратным знаком. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные между i-м и j-м узлами, то G_ij = 0.

В правой части первого уравнения написано значение тока, равное произведению ЭДС E источника напряжения на проводимость ветви g₁, включенной последовательно с источником ЭДС, E·g₁. Эта ветвь включена в первый узел. Так как ЭДС направлена от первого узла к базисному, то значение тока берется со знаком плюс.

Во втором уравнении в правой части написано значение тока источника, включенного во второй узел, со знаком плюс, так как ток источника втекает в узел.

Таким образом, в правой части уравнений записывается так называемый узловой ток i-го узла J_ii. Он равен алгебраической сумме токов источников тока, включенных в данный узел, включая ток, вызванный источником напряжения в ветви, также включенный в i-ый узел. Если токи источников направлены в узел, то они берутся со знаком плюс, если нет – со знаком минус. Если в узловой ток входят токи, вызванные источниками напряжения, то они пишутся со знаком плюс, если ЭДС источника направлена в узел и со знаком минус, если направлена от узла. Узловые токи в примере на рис.4.2 равны J₁₁ = Eg₁, J₂₂ = J.

Используя введенные новые понятия для метода узловых напряжений, можно представить систему уравнений (4.2) в канонической форме записи:

G ₁₁∙U₁₁ + G₁₂∙U₂₂ = J₁₁;

G₂₁∙U₁₁ + G₂₂∙U₂₂ = J₂₂. (4.3)

Рассматривая полученную систему уравнений в виде (4.3), можно сформулировать методику формирования узловых уравнений непосредственно по схеме цепи, имеющей n₁ = g – 1 независимых узлов (g – число узлов в схеме):

л евая часть узлового уравнения, составленного для i-го независимого узла, есть сумма членов, один из которых равен произведению узлового напряжения i-го узла на его собственную проводимость– Y_ii∙U_ii , а остальные – произведениям узловых напряжений других независимых узлов j на взаимные проводимости i-го и j-го узлов - Y_ij∙U_jj. Правая часть каждого уравнения равна узловому току соответствующего узла J_ii.

Полученные результаты могут быть обобщены для произвольной линейной цепи, составленной из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения и тока:

Y₁₁U₁₁ + Y₁₂U₂₂ +…+ Y_1NU_NN = J₁₁;

Y₂₁U₁₁ + Y₂₂U₂₂ +…+ Y_2NU_NN = J₂₂;

. . . . . . . . . . . . . . . .

Y_N1U₁₁ + Y_N2U₂₂ +…+ Y_NNU_NN = J_NN. (4.4)

Система уравнений может быть записана в матричной форме:

[Y]∙[U] = [J], (4.5)

где

[Y]= - матрица узловых проводимостей цепи;

[U]= ; [J]= – матрицы-столбцы узловых напряжений и узловых токов.

Для линейной цепи, состоящей из R, L, C и независимых источников электрической энергии матрица проводимостей всегда квадратная и симметричная относительно главной диагонали, т.е. Y_ij = Y_ji.

Решая систему узловых уравнений, определяют узловые напряжения, а по ним – токи в ветвях.

Частный случай. Исследуемая цепь может содержать идеальный источник напряжения (без последовательно включенного сопротивления), включенный между двумя узлами. В этом случае один из этих узлов целесообразно принять за базисный. Тогда узловое напряжение другого узла будет равно ЭДС источника (со знаком плюс или минус), т.е. известное. Следовательно, узел, к которому подключен источник напряжения, в этом случае оказывается зависимым, число неизвестных узловых напряжений уменьшается до n₁ = g – 1 – p_ин (p_ин – число идеальных источников ЭДС). Узловые уравнения формируются только для узлов, к которым не подключены источники напряжений. В левой части равнений в первоначальной их записи учитываются все узловые напряжения, как известные, так и неизвестные, но затем члены, содержащие известные узловые напряжения, переносят в правую часть уравнений.

П ример 4.2. Используя метод узловых напряжений, составить уравнения электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис.4.3.

Решение. Будем считать, что точка соединения источника E₁ с сопротивлением R₁ образуют входной узел цепи. Схема содержит g = 5 узлов и два независимых источников напряжения. Каждый из них включен между узлами без сопротивления. Примем один узел, объединяющий полюса источников, за базисный, а остальные узлы пронумеруем, как показано на рис.4.4.

К узлам 1 и 4 подсоединены источники напряжений, поэтому их узловые напряжения равны ЭДС с соответствующим знаком: U₁₁ = E₁, U₄₄ = –E₂. Для этих узлов уравнения составлять не надо. Поэтому система уравнений будет содержать не четыре, а два уравнения для второго и третьего узлов. Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа по методике, изложенной в примере 4.1:

– E₁·g₁ + U₂₂·(g₁ + g₂ + g₃) – U₃₃·g₂ + E₂·g₃ = 0,

–U₂₂·g₂ + U₃₃·(g₂ + g₄ + g₅) + E₂·g₅ = 0.

Перенесем известные члены в правую часть уравнений и запишем эту систему в матричной форме

Пример 4.3. Определить токи методом узловых напряжений в ветвях цепи, схема которой изображена на рис.4.5.

R1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 A; E = 10 В.

Р ешение.

1. Пронумеруем узлы, выбрав один из них за базисный (см. рис.4.5).

2. К первому узлу подключен источник напряжения, поэтому U₁₁ = E.

3. Запишем уравнения для второго и третьего узлов:

– Eg₁ + U₂₂(g₁+g₃+g₄) – U₃₃g₃ = 0,

–Eg₂ – U₂₂g₃ + U₃₃(g₂+g₃+g₅) = –J.

4. Преобразуем и запишем уравнения в окончательном виде

.

5. После подстановки численных значений параметров и решения уравнений, получим

U₂₂ = 3.7209 В, U₃₃ = –0.6977 В.

6. Определим токи в ветвях:

i₂ = (E – U₂₂)g₁ = 0.628 А; i₃ = (E – U₃₃)g₂ = 0.535 А;

i₄ = (U₂₂ – U₃₃)g₃ = 0.442 А; i₅ = U₂₂g₄ = 0.186 А; i₆ = U₃₃g₅ = – 0.023 А.

i₁ = i₂ + I₃ – J = 0.163 А (по первому закону Кирхгофа для первого узла).

7. Проверим правильность решения задачи, используя закон Кирхгофа для второго узла: –i₂ + i₄ + i₅ = 0, – 0.628 + 0.442 + 0.186 = 0. Задача решена правильно.

Определение токов в этой задаче потребовало решения системы из двух уравнений. Этот же пример рассматривался при изучении методов токов ветвей и контурных токов.

Сравнивая три метода расчета по сложности решения задач по определению токов ветвей, контурных токов и узловых напряжений, можно придти к следующему выводу:

при анализе сложной цепи методы контурных токов и узловых напряжений позволяют уменьшить число уравнений по сравнению с методом токов ветвей. Выбор метода контурных токов или узловых напряжений определяется наименьшим количеством независимых контуров или узлов.

Следовательно, выбирать метод нужно после проведения топологического анализа схемы по наименьшему количеству независимых контуров или узлов.

На основе решения одной и той же задачи в примерах 3.3 и 4.3 разными методами видно, что проще эту задачу решить методом узловых напряжений.