Тема 3. Расчет линейных цепей

МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов основан на применении второго закона Кирхгофа. Он заключается в том, что токи всех ветвей выражаются через так называемые “контурные токи”, которые рассматриваются в качестве независимых переменных в уравнениях.

Контурным током I_kk k-го контура называется некоторый ток, который как бы протекает по ветвям k-го контура.

Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная относительно неизвестных контурных токов, называется системой контурных уравнений.

Токи в ветвях можно выразить через контурные токи, если воспользоваться уравнениями баланса токов для независимых узлов.

Рассмотрим методику формирования контурных уравнений при решении конкретной задачи.

П ример 3.1. Для схемы рис. 3.1 составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа, в которой за независимые переменные принять контурные токи.

Решение.

1. Проведем топологический анализ схемы: число узлов g = 3, число ветвей

p = 5, число источников тока N_ит = 1. Подсчитаем число независимых контуров:

n₁₁ = p – g – N_ит + 1 = 2.

2. Выберем произвольно положительные направления токов в ветвях и два независимых контура (E – R₁ – R₂) и

(R₂ – R₃ – R₄), как показано на рис. 3.2. Независимый контур не должен содержать источник тока. Однако, для учета тока J источника тока нужно образовать дополнительный контур через этот источник тока. На рис. 3.2 он показан пунктирной линией со стрелкой.

Будем считать, что ток в дополнительном контуре известен и равен току источника J. Следовательно, дополнительный контур является зависимым контуром. Поэтому для него уравнение по второму закону Кирхгофа не составляют.

3. Запишем два уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров:

– i₁R₁ + i₂R₂ = E

– i₂R₂ + i₃R₃ + i₄R₄ = 0. (3.1)

4. Выразим четыре неизвестных тока i₁ ÷ i₄ через контурные токи I₁₁, I₂₂ и тока источника J. Как видно на рис. 3.2, контурный ток I₁₁ направлен против тока i₁. Поэтому i₁ = – I₁₁. Через сопротивление R2 протекает ток i₂, но через это сопротивление мы направили два контурных тока в разных направлениях, поэтому i₂ = I₁₁ – I₂₂. Ток i₃ = I₂₂. Ток i₄ определяется двумя токами I₁₁ и J. Они протекают в одном направлении с i₄, поэтому i₄ = I₂₂ + J.

5. Подставим выражения токов в уравнения (3.1) и, группируя слагаемые при одинаковых контурных токах, получим систему уравнений (3.2) для определения двух неизвестных контурных токов

I ₁₁(R₁+R₂) – I₂₂R₂ = E;

– I₁₁R₂ + I₂₂(R₂+R₃+R₄) = –JR₄. (3.2)

Анализируя структуру этих уравнений, можно установить ее связь с топологией цепи и ввести ряд новых понятий и обозначений.

В первом уравнении, составленном для первого контура, контурный ток I₁₁ умножается на сумму сопротивлений ветвей, входящих в первый контур, – R₁₁ = (R₁+R₂). Во втором уравнении, составленном для второго контура, ток I₂₂ также умножается на сумму сопротивлений ветвей, образующих второй контур, – R₂₂ = (R₂+R₃+R₄).

Если распространить эту закономерность в двух уравнениях на общий случай, то можно ввести новое понятие: собственное сопротивление i- го контура Z_ii. Оно равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в i-ый контур. В нашем примере это R₁₁ и R₂₂.

Продолжая структурный анализ уравнений, видим, что в них есть члены, равные произведению контурного тока соседнего контура на сопротивление ветви, соединяющей два контура: I₂₂∙(–R₂) = I₂₂∙R₁₂ – в первом уравнении и

I₁₁∙(–R₂) = I₁₁∙Z₂₁ – во втором уравнении. Элемент R2 является ветвью, принадлежащей первому и второму контурам. Поэтому сопротивления таких ветвей можно назвать общими или взаимными сопротивлениями i-го и j-го контуров Z_ij. Они равны сопротивлению ветви, включенной непосредственно между этими контурами, взятому с обратным знаком. В рассматриваемом примере это R₁₂ = R₂₁ = –R₂. Если в цепи отсутствуют ветви, включенные между i-м и j-м контурами, то Z_ij = 0.

В правой части первого уравнения стоит ЭДС E источника, включенного в первый контур. Направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока I₁₁, поэтому слагаемое берется со знаком плюс.

Во втором уравнении в правой части написано напряжение равное произведению тока J дополнительного контура на сопротивление ветви R₄, через которую протекает этот ток. Направление тока J совпадает с направлением контурного тока I₂₂, поэтому это произведение взято в правой части со знаком минус.

Таким образом, в правой части уравнений записывается так называемая контурная ЭДС i-го контура E_ii. Она равна алгебраической сумме ЭДС источников напряжения, входящих в данный контур, включая напряжения на сопротивлениях, вызванных токами дополнительных контуров. Если направление ЭДС источника, входящего в i-ый контур, совпадает с направлением контурного тока этого контура, то соответствующая ЭДС входит в E_ii со знаком плюс, если нет – со знаком минус. Напряжения на общих сопротивлениях берутся со знаком плюс, если направление тока J дополнительного контура противоположно направлению контурного тока в этом сопротивлении, и со знаком минус – в противном случае. Контурные ЭДС в примере на рис.3.2 равны E₁₁ = E, E₂₂ = – JR₄.

Используя введенные новые понятия для метода контурных токов, можно представить систему уравнений (3.2) в канонической форме записи:

R ₁₁∙I₁₁ + R₁₂∙I₂₂ = E₁₁;

R₂₁∙I₁₁ + R₂₂∙I₂₂ = E₂₂. (3.3)

Рассматривая полученную систему уравнений в виде (3.3), можно сформулировать методику формирования контурных уравнений непосредственно по схеме цепи, имеющей n₁₁ = p – g – N_ит + 1 независимых контуров:

л евая часть контурного уравнения, составленного для i-го независимого контура, есть сумма членов, один из которых равен произведению контурного тока i-го контура на его собственное сопротивление– I_iiZ_ii∙ , а остальные – произведениям контурных токов других независимых контуров j на взаимные сопротивления i-го и j-го контуров - I_jZ_ij∙_j. Правая часть каждого уравнения равна контурной ЭДС соответствующего контура E_ii.

Полученные результаты могут быть обобщены для произвольной линейной цепи, составленной из сопротивлений, емкостей, индуктивностей и независимых источников напряжения и тока:

Z ₁₁I₁₁ + Z₁₂I₂₂ +…+ Z_1NI_NN = E₁₁;

Z₂₁I₁₁ + Z₂₂I₂₂ +…+ Z_2NI_NN = E₂₂;

. . . . . . . . . . . . . . . .

Z_N1I₁₁ + Z_N2I₂₂ +…+ Z_NNI_NN = E_NN. (3.4)

Система уравнений может быть записана в матричной форме:

[Z]∙[I] = [E], (3.5)

где

[Z] = - матрица контурных сопротивлений цепи;

[I] = ; [E] = –

– матрицы-столбцы контурных токов и контурных ЭДС.

Для линейной цепи, состоящей из R, L, C и независимых источников электрической энергии матрица сопротивлений всегда квадратная и симметричная относительно главной диагонали, т.е. Z_ij = Z_ji.

Решая систему контурных уравнений, определяют контурные токи, а по ним – токи в ветвях.

Пример 3.2. Используя метод контурных токов, составить уравнения электрического равновесия цепи, схема которой приведена на рис. 3.3.

Р ешение.

1. Проведем топологический анализ схемы для определения количества независимых контуров n₁₁. Количество ветвей p = 6, число источников тока

N_ит = 1, число узлов g = 4, n₁₁ = p – g – N_ит + 1 = 2.

2. Выберем произвольно два независимых контура и направление их обхода как показано на рис. 3.4. В схеме содержится источник тока, поэтому следует образовать дополнительный контур, он показан на рис. 3.4 пунктирной линией.

3. Ток i₁ равен току I₁₁, а ток i₃ = I₂₂ – это видно на рис. 3.4. Сопротивление R₂ является общим для первого и второго контуров. Через него протекает ток i₂ = (I₁₁ – I₂₂). Элементы R₄ - R₅ – J образуют дополнительный контур. Сопротивления R₄, R₅ входят в состав первого и второго контуров. Через эти сопротивления протекают токи i₄ = (I₁₁ – J) и i₅ = (J – I₂₂) соответственно. Учитывая сказанное, запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров по методике, изложенной в примере 3.1:

I ₁₁(R₁ + R₂ + R₄) – I₂₂R₂ = E₁ + JR₄

–I₁₁R₂ + I₂₂(R₂ + R₃ + R₅) = JR₅. (3.6)

Запишем уравнения (3.6) в матричной форме

.

Пример 3.3. Определить токи методом контурных токов в ветвях цепи, схема которой изображена на рис. 3.5.

R1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 A; E = 10 В.

Р ешение.

1. Схема цепи содержит

n₁₁ = p – g– N_ит + 1 = 3 независимых контура и один дополнительный зависимый (см. рис. 3.5).

2. Пользуясь методикой формирования системы уравнений по схеме цепи, изложенной в примере 3.1, запишем уравнения для трех контуров в матричной форме

.

3. После подстановки численных значений параметров и решения уравнений, получим значения контурных токов

I₁₁ = 0.163 А, I₂₂ = – 0.465 А, I₃₃ = – 0.023 А.

4. Определим токи в ветвях:

i₁ = I₁₁ = 0.163 А; i₂ = I₁₁ – I₂₂ = 0.628 А; i₃ = I₂₂ – J = 0.535 А;

i₄ = I₃₃ – I₂₂ = 0.442 А; i₅ = I₁₁ – I₃₃ = 0.186 А; i₆ = I₃₃ = – 0.023 А.

5. Проверим правильность решения задачи, используя закон Кирхгофа для второго узла: –i₂ + i₄ + i₅ = 0, – 0.628 + 0.442 + 0.186 = 0. Задача решена правильно.

Определение токов в этой задаче потребовало решения системы из трех уравнений. Этот же пример рассматривался при изучении метода токов ветвей, по которому пришлось решать систему из шести уравнений, а ее решать сложнее. Этот пример показывает преимущество метода контурных токов перед методом токов ветвей.