5. Неразветвленная цепь

В неразветвленной ветви (см. рис. 1.6), содержащей различные резисторы и источники ЭДС, ток I₁ можно определить по формуле обобщенного закона Ома

,

где V_а, V_б – потенциалы точек а и б; U_аб = V_а – V_б – разность потенциалов или напряжение между точками а и б; ∑R – арифметическая сумма сопротивлений резисторов ветви; ∑E – алгебраическая сумма ЭДС источников. Со знаком “плюс” берут те ЭДС, направления которых совпадают с выбранным положительным направлением тока, а со знаком “минус” – ЭДС с противоположными направлениями.

В ветви, изображенной на рис. 1.6, ток определяется формулой:

.

6. Эквивалентные преобразования сложных схем

Если схема цепи, содержит большое число ветвей и различных источников, то такую схему можно преобразовать в простую эквивалентную путем преобразования отдельных участков схемы и уменьшения числа элементов. Это можно проиллюстрировать на примере.

Пример 1.1. Преобразовать схему цепи, изображенную на рис. 1.7 а, в эквивалентную (R_экв – E_экв) (рис. 1.7 б).

Решение. Задача решается в насколько этапов.

С ледует начать преобразование не со стороны узлов а) и б), а с другой стороны схемы (справа).

Сопротивления R₃ и R₄ соединены последовательно, а к ним параллельно подключено R₅. Этот участок преобразуется в одно сопротивление R₆:

Теперь образовался участок смешанной цепи из элементов (R₂ - J₁ - R₆) (см. рис.1.8). Его нужно преобразовать в последовательную цепь – (R₇ – E₂ ) (см. рис.1.9 а), где R₇ = R₂ + R₆, E₂ = J₁·R₂.

П олученную схему нужно преобразовать в параллельные схемы (рис. 1.9 б, в).

Параметры преобразованных элементов определяются по формулам:

J₂ = E₁/R₁, J₃ = E₂/R₇, , J₄ = J₂ + J₃.

По условию задачи исходную схему (рис. 1.7 а) следует преобразовать в последовательную R_экв – E_экв (рис. 1.7 б или рис. 1.9 г).

Т аким образом,

R_ЭКВ = R₈; E_ЭКВ = J₄∙R₈.

На основании рассмотренных примерах можно сделать вывод:

эквивалентные преобразования участков цепей позволяют

значительно упростить схему цепи.

Тема 2. Расчет линейных цепей с помощью законов кирхгофа. Метод токов ветвей

Расчет электрических цепей заключается в определении величин токов в ветвях и напряжений на участке цепи. Электрическое состояние цепи можно полностью описать с помощью законов Кирхгофа и Ома. Такой метод расчета цепи известен под названием «Метод токов ветвей».

2.1. Законы Кирхгофа

П ервый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узле:

а лгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, подключенных к узлу схемы цепи, в любой момент времени равна нулю.

Узел – место соединения трех и более ветвей. Он отмечается в схеме одной или несколькими точками и при необходимости нумеруется.

Ветвь – участок цепи между двумя узлами, через элементы которого протекает один и тот же ток. Соединительные линии между точками в схеме не являются ветвями. “Точка” в схеме показывает, что линии соединены между собой. Узел может объединять несколько точек.

Направления токов в ветвях выбираются произвольно и при необходимости указываются стрелками. Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему – отрицательными (или наоборот).

Пример 2.1. Записать уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов схемы, изображенной на рис. 2.1. Определить количество независимых уравнений n₁, которые можно составить по первому закону.

Р ешение. В схеме два узла g = 2, причем, одному узлу присваивают номер “0” и его отмечают специальным знаком (см. рис. 2.1).

В схеме четыре ветви p = 4:

(

Рис. 2.1

E₁ – R₁); R₂; J; (R₃ – R₄ – E₂). Узлы № 0 и 1 объединяют по 4 ветви.

Для схемы, изображенной на рис. 2.1, можно записать два уравнения по первому закону Кирхгофа:

для узла 1) –i₁ + i₂ + i₃ – j = 0,

для узла 0) – + i₁ – i₂ – i₃ + j = 0.

З начение тока j источника принято писать в правой части уравнения. Если ток j втекает в узел, например, в первый, то ток j пишется в правой части со знаком “плюс” Если вытекает из узла – пишется с другим знаком, с “минусом”. Перепишем эти уравнения: –i₁ + i₂ + i₃ = j,

i₁ – i₂ – i₃ = j.

Сравнивая эти уравнения между собой, видно, что второе может быть получено из первого умножением каждого слагаемого на (–1). Это значит, что одно уравнение является зависимым уравнением в системе и его нельзя использовать для решения.

Н а основании проведенного анализа можно сделать важный вывод о количестве независимых уравнений n₁, которые можно составить по первому закону Кирхгофа: ,

ч исло независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно числу узлов без единицы.

Узел, для которого не составляется уравнение, называется “базисным” или “общим” и отмечается специальным знаком, как показано на рис. 2.1.

В торой закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений элементов контура цепи:

а лгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех элементов, входящих в контур, в каждый момент времени равна нулю.

К онтур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи. Если в контуре имеются источники ЭДС, то второй закон Кирхгофа можно сформулировать по-другому:

а лгебраическая сумма напряжений пассивных элементов контура равна алгебраической сумме ЭДС источников напряжений.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа не следует выбирать контура, содержащие источники тока, так как эти контура являются зависимыми.

Направление обхода контура выбирают произвольно, например, по ходу часовой стрелки. Если положительное направление напряжения элемента совпадает с направлением обхода, то напряжение в левой части равенства принимается положительным. ЭДС источника берется со знаком “плюс” в правой части равенства, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура.

Пример 2.2. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа для всех контуров схемы (рис. 2.1). Определить количество n₁₁ независимых уравнений (независимых контуров) по второму закону Кирхгофа.

Решение. В приведенном примере на рис. 2.1 можно выделить три независимых контура (без источника тока j): 1) – (Е₁, R₁, R₂); 2) – (R₂, R₃, R₄, E₂); 3) – (E₁, R₁, R₃, R₄, E₂). Запишем уравнения для трех контуров:

1) i₁R₁ + i₂R₂ = E₁;

2) – i₂R₂ + i₃R₃ + i₃R₄ = – E₂;

3) i₁R₁ + i₃R₃ + i₃R₄ = E₁ – E₂.

Анализируя эти уравнения, можно придти к выводу – любое из трех уравнений можно получить суммированием двух других. Таким образом, одно уравнение является зависимым и его нужно исключить из системы уравнений. Контура, для которых составлены независимые уравнения, называют независимыми контурами.

Определим количество независимых уравнений по второму закону Кирхгофа – n₁₁. Общее число независимых уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа должно быть равно числу неизвестных токов n_i = n₁ + n₁₁. Число неизвестных токов равно числу ветвей p минус число ветвей, образованных источниками тока – N_ИТ: n_i = p – N_ИТ. Таким образом, число независимых контуров, т.е. независимых уравнений по второму закону Кирхгофа равно:

n ₁₁ = n_i – n₁ = p – N_ИТ – g + 1.

Процедура определения количества независимых уравнений по законам Кирхгофа n₁ и n₁₁, т.е. определение p, N_ИТ, g называется топологическим анализом схемы.

В рассматриваемом примере p = 4, N_ИТ = 1, g = 2. Следовательно,

n₁ = 1, n₁₁ = 2.

Таким образом, для рассматриваемой схемы система уравнений, записанная по законам Кирхгофа, состоит из трех независимых уравнений: