2.2. Метод токов ветвей

Метод токов ветвей основан на непосредственном применении законов Кирхгофа. В этом методе в качестве независимых переменных, относительно которых составляется система уравнений, выбираются токи в ветвях. Определив токи, можно определить напряжения всех элементов схемы по закону Ома.

Можно сформулировать основные этапы расчета цепи методом токов ветвей при рассмотрении конкретного примера.

Пример 2.3. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 2.2. Определить токи в ветвях.

R 1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; J = 0.1 A; E = 1 В.

Решение.

1. Пронумеровать узлы, приняв один из них за базисный (рис. 2.2).

2. Отметить произвольно положительные направления токов в ветвях (рис. 2.3).

3. Провести топологический анализ схемы: число узлов g = 4, число ветвей p = 6, число источников тока N_ит = 1.

4. Подсчитать число независимых уравнений по законам Кирхгофа:

по первому закону – n₁ = g – 1 = 3,

по второму закону – n₁₁ = p – g – N_ит + 1 = 2.

Таким образом, система уравнений должна состоять из 5 уравнений.

5. Записать уравнения по первому закону Кирхгофа для трех узлов:

для 1 узла i₁ + i₂ = – j;

для 2 узла – i₂ + i₃ + i₄ = 0;

для 3 узла i₄ + i₅ = j.

6. Выбрать произвольно два независимых контура и направление обхода контуров, например, (R1 – R2 – E) и (E – R3 – R4), как показано на рис. 2.3.

7. Записать для двух контуров уравнения по второму закону Кирхгофа:

1 контур – –i₁R₁ + i₂R₂ = – E;

11 контур – i₄R₃ + i₅R₄ = E.

8. Представить систему уравнений, составленную по законам Кирхгофа, в матричной форме:

После подстановки в уравнения числовых значений и решения системы, получим выражения для токов:

i₁ = – 3.3(3)·10^–2 A; i₂ = – 6.6(6)·10^–2 A; i₃ = – 0.16(6) A; i₄ = 0.1 A; i₅ = 0.

Отрицательный знак для токов i₁, i₂, i₃ означает, что истинное направление токов в ветвях противоположно принятому направлению.

Полученное решение задачи требует проверки, которую проводят, как правило, по первому закону Кирхгофа. Например, проверим выполнение закона в первом узле: i₁ + i₂ = – j; –3.3(3)·10^-2 – 6.6(6)·10^-2 = –9.9(9)·10^-2 = –0.1. Закон выполняется. Проверку можно провести для любого узла.

По найденным значениям токов можно по закону Ома определить напряжение на любом элементе схемы.

Пример 2.4. Определить токи в ветвях схемы, изображенной на рис. 2.4, методом токов ветвей.

R 1 = R3 = 10 Ом; R2 = R4 = 20 Ом; R5 = 30 Ом; J = 1 А; E = 10 В.

Решение.

1. Выберем положительные направления токов в ветвях, как показано на

рис.2.5, и проведем топологический анализ схемы.

Число ветвей p = 7, число узлов g = 4, число источников тока N_ит = 1.

2. Количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа: n₁ = 3, n₁₁ = 3.

3. Пронумеруем три узла и выберем три независимых контура. На рис. 2.5 контура и направления их обхода показаны замкнутой линией со стрелкой.

4. Составим шесть уравнений по двум законам Кирхгофа:

–i₁ + i₂ + i₃= J;

–i₂ + i₄+ i₅ = 0;

–i₃ –i₄ + i₆ = –J;

i₂R₁ + i₅R₄ = E;

–i₂R₁ + i₃R₂ – i₄R₃ = 0;

i₄R₃ – i₅R₄ + i₆R₅ = 0.

5. После подстановки числовых значений коэффициентов запишем уравнения в матричной форме:

[a]∙[i] = [b],

где [i] – матрица – столбец токов ветвей; [a] – матрица коэффициентов при токах; [b] – матрица – столбец активных элементов,

.

Для решения системы уравнений шестого порядка целесообразно воспользоваться соответствующей вычислительной программой, например, «Mathcad 8».

В результате решения системы, получим:

i₁ = 0.163 А; i₂ = 0.628 А; i₃ = 0.535 А; i₄ = 0.442 А; i₅ = 0.186 А; i₆ = –0.023 А.

Проверка решения для 1 узла: –i₁ + i₂ + i₃ = J,

–0.163 + 0.628 + 0.535 = 1.0 –решение правильное.