6.5. Расчет и построение частотных характеристик

Численный расчет проводят по аналитическим выражениям АЧХ, ФЧХ, АФХ. В качестве переменной используется циклическая частота f. Результаты вычислений приводят в таблице:

Частота, f	Модуль T(f)	Аргумент (f)	A(f)	B(f)

Расчет частотных характеристик всегда проводят в определенном (ограниченном) диапазоне частот, в котором проявляются основные частотные свойства электрической цепи. Величину диапазона частот можно оценить с помощью особых точек (нулей и полюсов) операторной передаточной функции.

В качестве нижней граничной частоты f_н можно принять значение, близкое к величине

(6.20)

где – расстояние от начала координат до ближайшей особой точки (нуля или полюса, см. рис. 6.5).

Это расстояние определяется как модуль особой точки, ближайшей к началу координат: S = p₀ или S = p_*.

За верхнюю граничную частоту f_В можно взять значение

(6.21)

где S_max – расстояние от начала координат до самой удаленной особой точки (см. рис. 6.5).

В процессе предварительного расчета характеристик значения f_Н и f_В можно корректировать в любую сторону.

Пример 6.5. Оценить граничные частоты частотной характеристики коэффициента передачи в примере 6.3.

Решение. Передаточная функция (6.10) имеет один нуль p₀₁ = 10⁴ и два комплексно-сопряженных полюса p_*1,2 = (-5.5  j8.35)10⁶. Следовательно,

S_min = p₀ =10⁴, S_max = p_* = 10⁷.

Таким образом, нижнюю граничную частоту (6.20) можно принять близкую, например, к

В ерхняя граничная частота может быть оценена по формуле (6.21)

При вычислениях частотных характеристик используют циклическую частоту f [Гц], а фазовый угол измеряют в градусах φ [град], как это принято в технике. Число значений частот следует брать 10 – 20 на график с неравномерным шагом. Вблизи экстремумов функции шаг изменения частоты уменьшают. В точках экстремумов, т.е. при частотах, соответствующих особым точкам S_i,

f = (S_i, S₂,…S_j)/(2 ) обязательно вычисляют модуль и аргумент функции.

Пример 6.6. Провести численный расчет АЧХ, ФЧХ, АФХ коэффициента передачи по напряжению фильтра по аналитическим выражениям (6.17), (6.18) и (6.19), полученным в примере 6.4.

Решение. Расчет можно провести по готовым вычислительным программам, например, «Mathcad», «Пакет вычислительных программ для курсовой работы по ОТЦ (кафедра ТРЭ)» и др. Сначала проводится предварительный расчет по выбранным значениям f_Н = 5 кГц и f_В = 8 МГц. По результатам расчета уточняют значения граничных частот, которые могут определяться диапазоном изменения коэффициента передачи. В данном примере целесообразно выбрать f_Н = 100 кГц и f_В = 30 МГц.

Перед построением частотных характеристик нужно выбрать тип масштаба по осям графика – линейный, полулогарифмический или логарифмический. Для этого целесообразно придерживаться принятым в технике рекомендациям.

Если диапазоны изменения частоты по оси абсцисс и функции (коэффициент передачи) по оси ординат составляют два и более порядков, то пользуются логарифмическим масштабом по двум осям. Если диапазон изменения одной величины (частоты или функции) не больше двух порядков, то пользуются полулогарифмическим масштабом (по одной оси линейный масштаб). Если диапазоны частоты и функции не превышают двух порядков, то график изображают в линейном масштабе.

В нашем примере частоты f_Н и f_В отличаются в 300 раз, т.е. более двух порядков. Коэффициент передачи K_U(f) изменяется примерно в десять раз (от 0.1 до 1.0). Поэтому частотные характеристики целесообразно строить в полулогарифмическом масштабе.

На рис.6.7 а), б), в) изображены АЧХ, ФЧХ, АФХ соответственно, рассчитанные по программе «Mathcad» и построенные по точкам.