3.1. Идентификация параметров эмпирических зависимостей технологических моделей

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии или основан на методе наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений у результативного признака от расчетных (теоретических) ( ) минимальна:

, (3.1)

т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:

Для нахождения минимума функции ОШ требуется вычислить частные производные функции по параметрам а и b и приравнять их нулю:

(3.2)

Итак,

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Таким образом, получаем, что

(3.6)

где ‑ ковариация признаков;

‑ дисперсия признака х.

Следовательно,

(3.7)

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере идентификации параметров модели смеси с равноправными компонентами.

Пусть имеется трёхкомпонентная модель, в которой смесь представляет собой совокупность компонентов трёх типов. Тогда модель трёхкомпонентной смеси с учётом зависимости поправки от массовых долей компонентов можно представить в виде

(3.8)

неизвестные параметры которого подлежат идентификации.

Составляется несколько смесей с различными массовыми долями , , (n ‑ номер комбинации смеси) и при каждой n-й комбинации смеси измеряется значения физической величины Y, вычисляется значение при известных параметрах .

Для идентификации неизвестных параметров минимизируется суммарная ошибка (остаток, описывающий ошибку использованной модели, , т.к. зависит от номера замера n).

Из уравнения (3.8) выражаем

(3.9)

Далее используем условие минимизации функции

(3.10)

Применяя, например, линейное приближение зависимости поправки от массовых долей ( ), из данных условий получим следующую систему 3-х линейных уравнений, определяющих 3 искомых коэффициента модели:

(3.11)

Детерминант D данной системы уравнений (с учетом зависимости , равен

(3.12)

Таким образом, система уравнений всегда имеет решение.

3.2. Адекватность эмпирических зависимостей

Метод наименьших квадратов строит оценки регрессии на основе минимизации суммы квадратов остатков. Поэтому очень важно исследовать поведение остаточных величин регрессии Н_i.

Исследование остатков Н_i предполагает проверку 5 предпосылок МНК:

‑ случайный характер остатков (критерий поворотных точек);

‑ нулевая средняя величина остатков, не зависящих от x_i;

‑ гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения Н_i одинакова для всех значений х;

‑ отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков Н_i распределены независимо друг от друга (критерий Дарбина-Уотсона);

‑ остатки подчиняются нормальному распределению (независимость распределения остаточной компоненты по R/S-критерию).

Рассмотрим вышеперечисленные критерии.

Критерий поворотных точек для определения случайности остаточной компоненты

Определяется количество поворотных точек по величинам остатков Н_i. При этом точка будет считаться поворотной, если она одновременно больше или меньше соседних с ней точек.

Случайность остаточной компоненты по критерию поворотных точек подтверждается, если выполняется неравенство

, (3.13)

где М – число поворотных точек, n – число измерений в выборке.