4.2. Сравнительный анализ технологий. Моделирование связи показателей технологий

Довольно часто качество технологических объектов оценивается не на основе сравнения векторов их состояний или их траекторий, а на основе анализа частот распределения некоторых физико-химических показателей, например, оптических, аминокислотных, органолептических и других спектральных распределений.

Пусть некоторый показатель s вектора состояния технологического объекта имеет частотное распределение _k своих k-х разрядных значений (исходов) при максимальном значении исходов K [3].

Рис. 9. Зависимость показателя s вектора состояния технологического объекта от частотного распределения 

Каждой n-й стандартной технологии будет соответствовать стандартное опорное распределение частот _nk (n = 1, 2, …, N; k = 1, 2, …, K).

Распределение частот _k, отклоняющееся от стандартного распределения, сравнивается со всеми опорными распределениями, и по результатам сравнения возможно судить как о принадлежности исследуемого распределения какому-то стандартному классу, так и сделать вывод о качестве технологии, связав её с величиной отклонения [3].

Величина, определяющая меру различия между распределениями, именуется критерием «хи-квадрат» (²) Пирсона-Фишера (см ниже).

Методы теории вероятности разрешают при достаточно большом количестве наблюдений определить такие критические значения ( = 0,1; 0,5), которые при справедливости «равенства» сравниваемых распределений (нулевая гипотеза) могут превышаться не более чем в  = 1% случаев или в  = 5% случаев. Величина  определяет уровень значимости критерия различия распределений. Считается, что сравниваемые распределения зависимы, если (нулевая гипотезы отвергается) и независимы, если (нулевая гипотеза принимается) [9].

Критические значения зависят от числа f степеней свободы. Число степеней свободы какой-либо статистической оценки равно числу независимых величин, используемых при вычислении этой оценки, т.е. общему числу таких величин минус число условий, связывающих эти величины.

Рассмотрим конкретный пример.

В серии опытов исследовались 100 образцов свинины одного и того сорта на наличие зависимости цветового окраса (показатель B) от уровня кислотности pH (показатель A).

Известно, что цветовой окрас определяется количеством пигментов, которые содержатся в мышечной ткани [3]. Уровень же pH связан с развитием стресса у животных перед убоем, а также нарушениями, вызванными их обездвиженностью во время корма.

У выбранных образцов показатель A (уровень pH) варьировался в диапазоне от 4,0 до 9,0 и имел 3 градации [3]:

A1	pH < 5,5
A2	5,5  pH  6,4
A3	pH > 6,4

В свою очередь показатель B также разбивался на три уровня:

B1	бледно-розовый окрас
B2	ярко-розовый окрас
B3	тёмно-красный окрас

В данном эксперименте уровень помех определялся относительной ошибкой измерения pH.

Исследование связи показателей A и B осуществляется на основании критерия «хи-квадрат».

Пусть показатель A имеет k градаций: {A₁, A₂, …, A_k}, а показатель B – m градаций: {B₁, B₂, …, B_m}. Введём следующие обозначения:

_km – частота события A_kB_m,

‑ частота появления события A_k,

‑ частота появления события B_m,

‑ общее число исследуемых образцов,

‑ вероятность события A_kB_m,

‑ вероятность события A_k,

‑ вероятность события B_m.

Гипотеза о независимости показателей A и B при _   записывается следующим образом:

. (4.3)

Величины называются ожидаемыми частотами при выполнении гипотезы о независимости показателей A и B (нулевая гипотеза).

Проверка гипотезы осуществляется на основании критерия «хи-квадрат»

. (4.4)

Методы теории вероятностей позволяют при большом количестве наблюдений найти такие критические значения ( = 0,1; 0,5), которые при справедливости нулевой гипотезы могут превышаться не более чем в  = 1% случаев или в  = 5% случаев.

Нулевая гипотеза принимается при и отвергается при .

Следовательно, при проверке гипотезы о независимости показателей,

• если , то показатели независимы;

• если , то показатели зависимы.

Критические значения зависят от числа степеней свободы

f = (K – 1)(M – 1). (4.5)

1. Создадим шаблон для решения задачи.

2. Запишем истинное значение кислотности в диапазоне ячеек В7:CW7.

3. Укажем в ячейке B8 абсолютное значение относительной величины помехи (0,1) и вычислим абсолютное значение ошибки кислотности dA:

4 . Вычислим значение измеренной кислотности по соответствующим формулам.

5. Укажем значение цветовой яркости B.

6. Рассчитаем таблицы сопряжённости, содержащие частоты совместных событий.

Аналогично, сгруппируем события с показателями 5,5  A  6,4 и A > 6,4.

Таким образом, таблица сопряженности имеет вид

7. Вычислим значение «хи-квадрат» по формуле

.

Таким образом, имеется ярко выраженная статистическая зависимость между кислотностью (показатель A) и окрасом свинины (показатель B), т.к. .

8. Выясним, насколько сильна взаимосвязь показателей A и B.

В качестве коэффициента, описывающего силу связи, называемого мерой связи, будем использовать оптимальную по разрешающей способности меру сходства (критерий разрешения) [3]

.

Вычислим её в ячейке C44:

9. Проанализируем, изменится ли данная зависимость, если увеличить уровень помех: будем менять абсолютное значение относительной величины помехи в ячейке B8, задавая его равным 0,3; 0,4; 0,5. При этом автоматически будут пересчитываться значения «хи-квадрат» и ₁.

Запишем минимальные значения полученных критериев в отдельную таблицу и построим график их зависимости от уровня помех.

Данный график показывает, что с повышением уровня помех выраженность зависимости кислотности от цветового окраса снижается.