Постановка задачи

Проведено исследование зависимости функционально-технологических свойств (показателя активной кислотности рН и щёлочности) водно-спиртовых смесей от вариации объёмных долей спиртаV₁ и воды V₂ (V₁ + V₂ = 100 мл). В результате эксперимента, проведенного на базе лаборатории оптоэлектронной квалиметрии МГУТУ и ФИАН, были получены следующие зависимости (табл. 18).

Таблица 18

Зависимость щёлочности и показателя активной кислотности рН от объёмной доли спирта

Объёмная доля спирта, V1 мл,	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80
Объёмная доля воды, V2 мл,	80	75	70	65	60	55	50	45	40	35	30	25	20
рН, Y1	7,35	7,53	7,52	7,77	7,84	7,86	7,92	7,98	8,03	8,25	8,29	8,4	8,59
ЩелочностьY2	3	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,8	1,6	1	1,3	1,2	1	0,9

Построить различные виды зависимостей рН и щелочности спирта от объёмной доли спирта в водно-спиртовой смеси.

Решение задачи

1. Осуществим выбор прогнозной модели, позволяющей наиболее точно указать зависимость уровня рН водно-спиртовой смеси от объёмной доли спирта. Для этого построим зависимость величины Y₁ от V₁.

Рис. 3. График зависимости рН от объёмной доли спирта

Добавим к построенному графику линию тренда, которая позволяет однозначно определить характер наблюдаемой динамики. При этом можно использовать следующие функциональные зависимости (Y – объёмная доля спирта, х – уровень рН):

линейная Y = a + bх, где a и b – константы;

полиномиальная Y = b + c₁х¹ + c₂х² + c₃х³ + … + c_nхⁿ, где b и c_i – константы;

логарифмическая Y = c lnх + b, где c и b – константы;

экспоненциальная Y = c e^bх, где c и b – константы;

степенная Y = c х^b, где c и b ‑ константы.

Рис. 4. Линейный тренд

Рис. 5. Логарифмический тренд

Рис. 6. Степенной тренд

Итак, по значению коэффициента детерминации R² (квадрата корреляции) наиболее значимой оказывается линейная линия тренда (для данной модели R² принимает наибольшее значение).

2. Проверим полученную зависимость на адекватность и статистическую значимость.

Получим все необходимые для анализа данные (таблица 19) в пакете регрессионного анализа Microsoft Excel (Сервис / Регрессия).

Таблица 19

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,9851522
R-квадрат	0,9705249
Нормированный R-квадрат	0,9678454
Стандартная ошибка	0,0654726
Наблюдения	13
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,5526159	1,552616	362,1968	9,09651E-10
Остаток	11	0,0471533	0,004287
Итого	12	1,5997692
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	7,024835	0,0518175	135,5688	4,41E-19	6,910786	7,139	6,91	7,139
Объемная доля спирта Х1	0,018472	0,0009706	19,03147	9,1E-10	0,016336	0,021	0,02	0,021
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Величина рН Y1	Остатки
1	7,3942857	-0,0442857
2	7,4866484	0,0433516
3	7,579011	-0,059011
4	7,6713736	0,0986264
5	7,7637363	0,0762637
6	7,8560989	0,0039011
7	7,9484615	-0,0284615
8	8,0408242	-0,0608242
9	8,1331868	-0,1031868
10	8,2255495	0,0244505
11	8,3179121	-0,0279121
12	8,4102747	-0,0102747
13	8,5026374	0,0873626

А) Критерий поворотных точек для определения случайности остаточной компоненты (таблица 20).

Таблица 20

Остатки	Поворотность точки
-0,0442857	-
0,0433516	1
-0,059011	1
0,0986264	1
0,0762637	0
0,0039011	0
-0,0284615	0
-0,0608242	0
-0,1031868	1
0,0244505	1
-0,0279121	1
-0,0102747	0
0,0873626	-
Сумма	6

Используя формулу (3.13), имеем

.

6 > 4 – верно, следовательно, случайность остаточной компоненты по критерию поворотных точек подтверждается, модель адекватна.

Б) Определение автокорреляции остатков критерием Дарбина-Уотсона (таблица 21).

Таблица 21

	Остатки t	t-t-1	t2	(t-t-1)2
	-0,044285714	-	0,001961	-
	0,043351648	0,087637	0,001879	0,00768
	-0,059010989	-0,10236	0,003482	0,010478
	0,098626374	0,157637	0,009727	0,02485
	0,076263736	-0,02236	0,005816	0,0005
	0,003901099	-0,07236	1,52E-05	0,005236
	-0,028461538	-0,03236	0,00081	0,001047
	-0,060824176	-0,03236	0,0037	0,001047
	-0,103186813	-0,04236	0,010648	0,001795
	0,024450549	0,127637	0,000598	0,016291
	-0,027912088	-0,05236	0,000779	0,002742
	-0,010274725	0,017637	0,000106	0,000311
	0,087362637	0,097637	0,007632	0,009533
Сумма			0,047153	0,081511

Используя формулу (3.16), имеем

.

1,34 = d_U < d = 1,73 < 4 ‑ d_U = 2,66.

Следовательно, автокорреляция остатков отсутствует, модель адекватна.

В) Независимость распределения остаточной компоненты по R/S-критерию.

Используя формулу (3.17), имеем

.

Рассчитанное значение R/S критерия не попадает внутрь заданного табличного интервала (2,7; 3,7). Следовательно, независимость распределения остаточной компоненты не подтверждается, а модель неадекватна.

Г) оценка качества модели F-критерием Фишера.

F_расч = 362,1968 > F_табл = 4,7.

Следовательно, гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Д) Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции t-критерием Стьюдента.

2,2 = t_табл < t_{а факт} = 135,6 и 2,2 = t_табл < t_{b факт} = 19,03.

Следовательно, коэффициенты a и b в линейной регрессии не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х.

Таким образом, по критериям поворотных точек и Дарбина-Уотсона построенную линейную модель y = 0,0185 x + 7,0248 можно считать адекватной. F-критерий Фишера и t-статистика Стьюдента подтверждает статистическую значимость модели. Но R/S-критерий не подтверждает независимость распределения остаточной компоненты, следовательно, имеет смысл «улучшить» построенную эмпирическую зависимость.

Предлагаемая полиномиальная зависимость 6-й степени

y = 7E-10x⁶ ‑ 2E-07x⁵ + 3E-05x⁴ ‑ 0,0018x³ + 0,0621x² ‑ 1,028x + 13,856

имеет больший коэффициент детерминации R² = 0,9862 (т.е. доля вариации величины рН уже на 98,62% будет объясняться вариацией объёмной долей спирта в водно-спиртовой смеси).

Рис. 8. Полиномиальная зависимость

Аналогично, можно исследовать зависимость уровня щёлочности от объёмной доли спирта в водно-спиртовой смеси.