1. Формирование математической модели

Обозначим через x₁ содержание говядины 1-го сорта,

x₂ ‑ свинины полужирной,

x₃ ‑ мяса птицы механической обвалки,

x₄ ‑ молока сухого цельного,

x₅ ‑ яйца цельного (или крахмала).

Тогда себестоимость (целевая функция)

135 x₁ + 116 x₂ + 75 x₃ + 70 x₄ + 21,4 x₅  min

п ри заданных ограничениях:

69,00 - 1,20  77,70 x₁ + 66,00 x₂ + 70,00 x₃ + 4,00 x₄ + 74,00 x₅ 69,00 + 1,20 (влага),

14,50 - 1,00  7,00 x₁ + 16,00 x₂ + 16,00 x₃ + 25,00 x₄ + 11,50 x₅  14,50 + 1,00 (жир),

15,00 - 0,40  20,20 x₁ + 17,00 x₂ + 13,00 x₃ + 26,00 x₄ + 12,70 x₅  15,00 + 0,4 (белок),

1,00 - 0,07  1,10 x₁ + 0,80 x₂ + 0,90 x₃ + 0,40 x₄ + 1,10 x₅  1,00 + 0,07 (зола),

42,55 - 12,50  60,00 x₁ + 32,50 x₂ + 37,00 x₃ + 55,00 x₄ + 11,00 x₅ 

 42,55 + 12,50 (водосвязывающая способность),

5700,00 – 100,00  7000,00 x₁ + 6500,00 x₂ + 4700,00 x₃ + 370,00 x₄ +

+ 120,00 x₅  5700,00+ 100,00 (предельное напряжение сдвига),

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 1 (естественное условие для массовых долей),

150 x₁ + 180 x₂ + 260 x₃ + 100 x₄ + 125 x₅  190 (биологическая ценность),

x₁ ≥ 0,

x₂ ≥ 0,

x₃ ≥ 0,

x₄ ≥ 0,

x₅ ≥ 0.

2. Формирование компьютерной модели

• Сформируем в среде Microsoft Excel таблицу 8.

Таблица 8

• Введём соответствующие формулы для расчёта величин потребительских свойств фарша, а также их верхних и нижних границ (таблица 9).

Таблица 9

3. Поиск решения

• Выберем команду Поиск решения пункта меню Сервис.

• Введём параметры поиска:

В окне Поиск решения отображена лишь часть ограничений, а именно: ограничения по влаге, жиру и биологической ценности. Следует также указать ограничения по водосвязывающей способности, предельному напряжению сдвига и естественному условию для массовых долей.

• Нажмём кнопку Выполнить, после чего в ячейках B15  F15 будут отображены результаты поиска решения: содержание говядины, свинины, мяса птицы механической обвалки, молока сухого цельного и яйца цельного (или крахмала) в смеси. В ячейках I3  I10 будут отображены значения потребительских свойств фарша с полученными (в ячейках B15  F15) массовыми долями его компонентов. Ячейка I11 содержит минимальное значение себестоимости полученного фарша (таблица 10).

Таблица 10

2.2. Моделирование двух- и трёхкомпонентной рецептурной смеси

Построение модели двухкомпонентной рецептурной смеси при условии линейной зависимости поправки от массовых долей компонентов

Составим модель двухкомпонентной рецептурной смеси мясного фарша с учётом взаимодействия компонентов [4]. Задачей является нахождение весовых коэффициентов модели рецептурной смеси, при которых выбранные потребительские свойства фарша соответствуют стандартам.

Идентифицируем модели показателя активной кислотности (pH) и водосвязывающей способности (ВСС).

Водосвязывающая способность определяется относительным количеством воды, связанной белковыми молекулами компонентов смеси.

1. Модель показателя активной кислотности (pH)

1. Создадим шаблон для ввода исходных данных и решения задачи (таблица 11).

Таблица 11

При этом диапазон ячеек С3:Н4 содержит значения массовых долей компонентов в каждом из n опытов.

Диапазон ячеек С5:Н7 содержит измеренные при каждой комбинации смеси значения pH.

2. Рассчитаем равновесное значение pH и разности истинного и равновесного значений pH.

Расчет равновесного значения pH производится по формуле

A_pH(n)= ‑lg(M₁(n)10 ^‑F₁ + M₂(n)10 ^‑F₂).

Таким образом, в ячейку С8 следует ввести формулу

=-LOG10(C3*10^(-C7)+C4*10^(-C6))

и затем скопировать её в диапазон ячеек D8:H8 (таблица 12).

Таблица 12

3. Построим модель двухкомпонентной смеси с учётом зависимости поправки от массовых долей компонентов:

.

Задача сводится к нахождению коэффициентов В₁ и В₂.

Искомые коэффициенты могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Для этого следует решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными (В₁ и В₂)

(*)

Рассчитаем для первого уравнения системы (*)

Аналогично, для второго уравнения системы (*)

Таким образом, получаем таблицу 13.

Таблица 13

В ячейках Е13 и Е14 введены формулы фактических значений свободных членов системы уравнений:

в Е13 ‑ =СУММПРОИЗВ($B$12:$C$12; B13:C13),

которая копируется в ячейку Е14 (таблица 14).

Таблица 14

4. Модель двухкомпонентной смеси должна быть построена таким образом, чтобы вычисляемые и фактические значения свободных членов в системе (*) совпадали.

Для этого определим квадраты отклонений данных значений в соответствующих ячейках компьютерной модели:

в ячейке F13 ‑ =(D13-E13)^2;

в ячейке F14 ‑ =(D14-E14)^2.

Для совпадения в системе (*) вычисляемых значений и свободных членов необходимо, чтобы сумма квадратов их отклонений была минимальна.

Значит, вычислим в ячейке F15 сумму квадратов отклонений

=СУММ(F13:F14)

и минимизируем её (используя команду Поиск решения).

Целевая функция записана в ячейке F15 (в ней вычисляется сумма квадратов отклонений, которая должна быть минимальной).

Изменяемые ячейки В12:С12 (в данном диапазоне будут определены искомые значения В₁ и В₂).

Ограничения: $D$13:$D$14=$E$13:$E$14 (фактические значения свободных членов должны совпадать с вычисляемыми).

Результат решения – таблица 15.

Таблица 15

Таким образом, модель показателя активной кислотности (pH) идентифицирована; коэффициенты B₁ и B₂ найдены:

В₁ = -0,005; В₂ = 0,02.