5.2. Вопросы к экзамену.
Раздел I. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».
Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.
Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу), их свойства.
Определители 2-ого и 3-его порядка, их вычисление. Основные свойства определителей.
Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Частные виды СЛАУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛАУ.
Решение, множество решений СЛАУ. Совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛАУ. Элементарные преобразования СЛАУ, их основное свойство.
Метод Крамера для решения СЛАУ, условия его применимости.
Метод Гаусса решения СЛАУ. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛАУ по методу Гаусса.
Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Условие существования обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.
Матричная форма записи СЛАУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛАУ, условия его применимости.
Минор
-ого
порядка, базисный минор, ранг матрицы.
Критерий совместности систем линейных
алгебраических уравнений.Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Коллинеарность и компланарность векторов.
Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор.
Понятие декартовой системы координат в
.
Радиус-вектор, координаты точки.
Вычисление длины вектора; направляющих
косинусов вектора; координат вектора,
заданного двумя точками; расстояния
между точками.Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами, условие их ортогональности.
Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства, выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.
Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.
Прямая линия на плоскости и её общее уравнение. Нормальный и направляющий векторы прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку, перпендикулярно вектору. Построение прямой на плоскости.
Каноническое уравнение прямой; уравнения прямой: проходящей через две точки, с угловым коэффициентом, в отрезках. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости и его вычисление; условия
и
прямых.Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и построение.