Тема 8. Производная и дифференциал функции.

Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента называется выражение .

Производной 1-ого порядка функции в точке называется конечный предел . Геометрический смысл производной состоит в том, что число равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке : , где - угол наклона касательной к оси прямоугольной декартовой системы координат .

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.

Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точке естественной области определения функции , в которой аналитическое выражение её производной имеет смысл. Производная , рассматриваемая на множестве тех точек , где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производной называется также дифференцированием функции .

Основные правила дифференцирования элементарных функций.

1. Если и дифференцируемые функции, _{- постоянная, то:}

	,
	,

2. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и имеет производную:

или кратко ..

При дифференцировании сложных функций для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведётся дифференцирование.

Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается , т. е. . В общем производной порядка ( -ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается , т.е. .Для производной используется также обозначение . Производная функции вычисляется её последовательным дифференцированием: , , , …, .

Дифференциалом функции в точке называется выражение , т.е. . В частности, для функции имеем , т.е. дифференциал независимого переменного совпадает с приращением . Поэтому дифференциал функции записывается в виде .

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

, где .

Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.

Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ( ).

Производные ( ) называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, , , , , ,… или ,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

Полным дифференциалом функции в точке называется выражение вида , где .

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Для функции справедливы формулы:

, .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле: . В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.