Тема 10. Неопределённый интеграл.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если для всех . Функция может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для содержатся в выражении , где - произвольная постоянная, которое и называется неопределённым интегралом от функции и обозначается . Таким образом, по определению .

Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Функция для которой на промежутке существует первообразная или неопределённый интеграл называется интегрируемой на этом промежутке. Первообразная и неопределённый интеграл на промежутке существуют у любой непрерывной на этом промежутке функции. Нахождение неопределённого интеграла состоит в таком преобразовании подынтегрального выражения, чтобы получить интегралы из таблицы основных интегралов (приложение 6.3).

Основные свойства неопределённого интеграла:

1. . 2. .

3. ( ).

4. .

5. Если , то , .

Основными методами интегрирования являются: непосредственное интегрирование, интегрирование заменой переменной и по частям.

Непосредственным интегрированием (интегрированием методом разложения) функции называют отыскание неопределённого интеграла с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции , свойств 3-4 неопределённого интеграла и таблицы основных интегралов.

Часто, заменой переменной интегрирования , удаётся свести нахождение интеграла к нахождению более простого интеграла с последующей заменой .

Очень часто применяют следующий способ замены переменной интегрирования:

,

где - некоторая дифференцируемая функция. Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.

Если и - дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

или кратко .

Эта формула используется в тех случаях для вычисления , когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл может оказаться проще интеграла .

Этим методом вычисляются: 1) интегралы вида ,

, , , причём в качестве выбирается ; 2) интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , причём в качестве выбирается одна из указанных выше функций. Указанные группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

Вычисление интегралов вида и , выделяя в квадратном трёхчлене полный квадрат и делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению табличных интегралов (см. приложение 6.3) и интегралов вида и , которые сводят к табличным заменой переменной .

Тема 11. Определённый интеграл. Несобственные интегралы.

К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми , , и кривой . Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше оси берётся со знаком «+», и ниже её – со знаком « » и называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается , где числа , называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определённый интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является её непрерывность на данном отрезке. Если функция интегрируема на , то, по определению, полагают , .