- •Оглавление Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •I. Практические занятия
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Практическое занятие № 3 “Элементы векторной алгебры” Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Практическое занятие № 4 “Аналитическая геометрия” Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •II. Тесты
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Тест № 2
- •Вариант № 1
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 2
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 3
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 4
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 5
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 1
- •1) Эллипс; 2) параболу; 3) окружность;
- •Вариант № 2
- •1) Эллипс; 2) параболу; 3) окружность;
- •Вариант № 3
- •1) Эллипс; 2) параболу; 3) гиперболу;
- •Вариант № 4
- •1) Эллипс; 2) окружность; 3) гиперболу;
- •Вариант № 5
- •1) Эллипс; 2) окружность; 3) параболу;
- •III. Решение типовых примеров Типовые примеры к практическому занятию № 1
- •Типовые примеры к практическому занятию № 2
- •Решение. Умножим слева обе части уравнения на , а справа – на . Тогда . В результате получаем решение системы . Теперь следует определить обратные матрицы:
- •Типовые примеры к практическому занятию № 3
- •Типовые примеры к практическому занятию № 4
- •Типовые примеры к практическому занятию № 5
- •Литература
- •420108, Г. Казань, ул. Зайцева, д. 17.
Решение. Умножим слева обе части уравнения на , а справа – на . Тогда . В результате получаем решение системы . Теперь следует определить обратные матрицы:
,
и использовать их в полученной формуле:
Типовые примеры к практическому занятию № 3
1. Даны векторы: ; .
a) Записать разложение этих векторов по ортам координатных осей.
Решение.
Если , то разложение вектора по ортам координатных осей имеет вид: .
Поэтому: , .
б) Найти векторы ; и их модули (длину) , .
Решение.
;
.
Учитывая, что модуль вектора вычисляется по формуле , получаем .
в) Найти скалярный квадрат вектора , т.е.
Решение. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора .
г) Найти скалярное произведение .
Решение.
Скалярное произведение векторов и определяется по формуле .
Поэтому .
д) Найти угол между векторами и .
Решение. Пусть обозначает угол между векторами и . Тогда .
2. В базисе заданы векторы , , . Установить, что они образуют базис.
Решение. В n-мерном векторном пространстве, n векторов образуют базис, если они являются линейно независимыми. Составим матрицу из этих векторов и вычислим ее определитель:
Он не равен нулю, следовательно, векторы , , образуют базис.
3. а) Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ , если .
Решение. Если оператор задан матрицей , то образ является произведением матрицы и вектора :
4. Найти собственные значения и собственные векторы матицы
. Провести нормирование собственных векторов. Привести матрицу к диагональному виду.
Решение. Пусть единичная матрица. Составим характеристическое уравнение , .
Решением уравнения являются собственные значения линейного оператора и .
Теперь найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решим матричное уравнение
или .
Оно сводится к одному уравнению . Положим в нем , ( – число, не равное нулю). Тогда . В результате получаем первый собственный вектор .
Аналогичным образом, получаем второй собственный вектор , соответствующий собственному значению .
Осуществим нормирование векторов и . Для этого найдем модули этих векторов и разделим каждую компоненту соответствующего вектора на модуль. В результате получаем
, .
Таким образом, в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов, матрица будет иметь диагональный вид
или .
5. Квадратичную форму
записать в матричном виде.
Решение. Запишем квадратичную форму
в матричном виде
и используем это выражение для представления заданной формы
.
6. Привести квадратичную форму к каноническому виду; записать соответствующее преобразование .
Решение. Выделяя полный квадрат, приведем квадратичную форму к каноническому виду:
Обозначим , тогда .
Преобразуя систему, получаем . Таким образом, матрицу преобразования, приводящую квадратичную форму к каноническому виду, можно записать так .
7. Определить, является ли положительно определенной квадратичная форма .
Решение. Запишем матрицу коэффициентов, соответствующую данной квадратичной форме . Вычислим главные миноры матрицы: , , .
Все главные миноры матрицы больше нуля. Следовательно, квадратичная форма является положительно определенной.