- •Оглавление Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •I. Практические занятия
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Практическое занятие № 3 “Элементы векторной алгебры” Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Практическое занятие № 4 “Аналитическая геометрия” Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •II. Тесты
- •Вариант № 2
- •Вариант № 3
- •Вариант № 4
- •Вариант № 5
- •Тест № 2
- •Вариант № 1
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 2
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 3
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 4
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 5
- •1) Знаконеопределенной; 2) отрицательно определенной;
- •3) Положительно определенной;
- •Вариант № 1
- •1) Эллипс; 2) параболу; 3) окружность;
- •Вариант № 2
- •1) Эллипс; 2) параболу; 3) окружность;
- •Вариант № 3
- •1) Эллипс; 2) параболу; 3) гиперболу;
- •Вариант № 4
- •1) Эллипс; 2) окружность; 3) гиперболу;
- •Вариант № 5
- •1) Эллипс; 2) окружность; 3) параболу;
- •III. Решение типовых примеров Типовые примеры к практическому занятию № 1
- •Типовые примеры к практическому занятию № 2
- •Решение. Умножим слева обе части уравнения на , а справа – на . Тогда . В результате получаем решение системы . Теперь следует определить обратные матрицы:
- •Типовые примеры к практическому занятию № 3
- •Типовые примеры к практическому занятию № 4
- •Типовые примеры к практическому занятию № 5
- •Литература
- •420108, Г. Казань, ул. Зайцева, д. 17.
Типовые примеры к практическому занятию № 2
1. Решить систему линейных уравнений
Решение. Метод обратной матрицы. Запишем систему в матричном виде. Для этого обозначим матрицу системы (она состоит из коэффициентов при переменных); столбец неизвестных , столбец свободных членов , состоящий из правых частей уравнений. Тогда система представима в матричном виде: .
Для нахождения умножим матричное уравнение на слева: . Найдем матрицу
Тогда столбец неизвестных:
Решение. Метод Крамера. Пусть - определитель матрицы : . Так как определитель не равен нулю, то можно использовать метод Крамера; система имеет единственное решение.
Определитель получаем из определителя заменой первого столбца на столбец свободных членов , а остальные столбцы остаются прежними: . Аналогично, заменяя в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно и .
,
Теперь воспользуемся формулой Крамера и найдем все переменные: , , .
Решение. Метод Гаусса. Метод Гаусса – это универсальный метод решения систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении переменных.
Составим расширенную матрицу системы, включающую в себя матрицу системы и столбец свободных членов .
Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).
Шаг 1. Если в матрице элемент , то перестановкой строк нужно добиться, чтобы элемент . В нашем примере .
Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого сначала умножим элементы первой строки на число и прибавим к элементам второй строки. Затем умножим элементы первой строки на число и прибавим к элементам третьей строки:
→
Шаг 2. Если в полученной матрице , то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке:
→
Полученной треугольной матрице соответствует система уравнений
.
Из третьего уравнения системы вычисляем ; из второго ; из первого .
2. Найти базисное решение системы уравнений
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы
Следовательно, ранг матрицы системы равен двум и система является неопределенной.
Определитель из коэффициентов при переменных отличен от нуля: . Поэтому их можно выбрать в качестве основных (базисных). Оставляя их в левой части, переменную перенесем в правую часть. В результате получим систему
Решение этой системы зависит от переменной
Придавая переменной произвольное значение , получим общее решение системы:
Полагая , найдем одно из базисных решений
3. Решить систему линейных однородных уравнений. Найти фундаментальную систему решений.
Решение. Преобразуем матрицу системы
Выберем , в качестве базисных переменных и решим систему
Полагая и , получим общее решение системы
Из общего решения выделим два частных решения:
1) пусть , , тогда
2) пусть , , тогда
Они образуют фундаментальную систему решений
4. Решить матричное уравнение где
.