13.7. Производная сложной и обратной функции
Теорема
13.5.
Если
в точке
имеет производную
,
а
в точке
имеет производную
,
то
.
Теорема
13.6.
Если функция
строго монотонна на интервале (a,b)
и имеет неравную нулю производную
в произвольной точке этого интервала,
то обратная ей функция
также имеет производную
в соответствующей точке, определяемую
равенством
.
13.8. Производные основных элементарных функций
Производная показательной функции.
Пусть
.
Тогда
.
.
Таким образом,
В
частности,
.
Производная логарифмической функции.
Пусть . Тогда
.
Таким образом,
Производная степенной функции.
Пусть
.
Прологарифмируем данное выражение.
Имеем:
,
откуда
Возьмем производную от сложной функции:
.
Таким образом,
.
Производные синуса и косинуса.
Пусть
.
Тогда
.
Представим разность тригонометрических
функции в виде произведения:
Следовательно,
Таким образом,
Предоставим читателю, доказать формулу:
Производные тангенса и котангенса.
Пусть
.
Тогда
,
и на основании правила дифференцирования
дроби, получаем:
.
Таким образом,
Аналогично
для функции
,
получим
Производные обратных тригонометрических функций
Пусть
.
Тогда
.
По теореме о дифференцировании обратной
функции имеем,
.
Пусть
.
Тогда
.
Имеем:
.
13.9. Производная функции, заданной неявно
Пусть
неявная функция. Чтобы найти производную
от неявной функции необходимо взять
производную от каждой части равенства
и учесть, что
– сложная функция. Так,
;
;
и т.д.
Пример.
Найдем производную для функции
.
.
13.10. Логарифмическая производная
Пусть
.
Прологарифмируем данную функцию. Тогда
.
Данная функция является неявной. Найдем
ее производную:
.
Тогда
.
Пример.
Найдем производную функции
.
Прологарифмируем
функцию:
,
следовательно,
.
13.11. Производная функции, заданной параметрически
Пусть
.
Вычислим
.
Поскольку
,
т.е.
Воспользуемся теоремой о производной
сложной функции:
.
Тогда, по теореме о дифференцировании
обратной функции, имеем:
.
Пример.
Найти
производную функции, заданной
параметрически, если
.
Имеем:
.
13.12. Сводная таблица формул дифференцирования
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.13. Примеры вычисления производных
1)
.
Для
вычисления производной сначала
преобразуем нашу функцию:
.
Тогда
имеем:
.
2)
.
Здесь воспользуемся формулой производной
произведения. Имеем:
.
3)
.
Воспользуемся формулой производной отношения:
.
4)
.
Данная функция является сложной, что дает нам право воспользоваться соответствующей формулой. Имеем:
.
5)
.
.
6)
.
7)
.
.
8)
.
Данная
функция является неявной. Продифференцируем
обе части равенства:
.
9) . Для решения данной задачи прологарифмируем обе части равенства и вычислим производную неявной функции.
.
10)
.
Прологарифмируем обе части равенства:
.
Далее продифференцируем неявную функцию:
.