- •Тема III – основы математического анализа
- •§8. Множества и операции над ними
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Числовые множества
- •9. Функция
- •9.1. Понятия функции и ее графика
- •9.2. Способы задания функций
- •9.3. Некоторые свойства функций
- •9.4. Обратная функция
- •9.5. Основные элементарные функции
- •9.5. Сложная функция и элементарные функции
- •§10. Предел функции
- •10.1. Предел функции в точке
- •10.2. Односторонние пределы
- •10.3. Предел функции на бесконечности
- •10.4. Бесконечно большие функции
- •§11. Бесконечно малые функции
- •11.1. Определение и основные теоремы
- •11.2. Основные теоремы о пределах
- •11.3. Техника вычисления пределов. Примеры
- •11.4. Первый замечательный предел
- •11.5. Эквивалентные функции
- •11.6. Второй замечательный предел
- •11.7. Техника вычисления пределов вида .
- •§12. Непрерывность функции
- •12.1. Непрерывность функции в точке и в области
- •12.2. Основные теоремы о непрерывных функциях
- •12.3. Классификация точек разрыва
- •§13. Производная функции
- •13.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •13.2. Определение производной функции в точке
- •13.3. Геометрический смысл производной
- •13.4. Физический смысл производной
- •13.5. Дифференцируемость функций
- •13.6. Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций
- •13.7. Производная сложной и обратной функции
- •13.8. Производные основных элементарных функций
- •13.9. Производная функции, заданной неявно
- •13.10. Логарифмическая производная
- •13.11. Производная функции, заданной параметрически
- •13.13. Примеры вычисления производных
- •13.14. Производные высших порядков
- •§14. Дифференциал функции
- •14.1. Понятие дифференциала функции
- •14.2. Основные теоремы о дифференциалах
- •14.3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •§15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Правило Лопиталя
- •15.2. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •15.3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:
12.2. Основные теоремы о непрерывных функциях
Теорема 12.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых знаменатель равен нулю)
Теорема 12.2. Пусть функция непрерывна в точке х0, а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке х0.
Теорема 12.3. Функция, обратная для непрерывной монотонной функции также непрерывна и монотонна.
Теорема 12.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Т еорема 12.5 (Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A, F(b)=B, то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между A и B.
12.3. Классификация точек разрыва
Пусть точка разрыва функции .
Точка называется точкой устранимого разрыва первого рода, если .
Точка называется точкой неустранимого разрыва первого рода, если , а , причем .
Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов (справа или слева) не существует или равен бесконечности.
§13. Производная функции
13.1. Приращение аргумента и приращение функции
Рассмотрим функцию . Пусть x – некоторое значение аргумента, – соответствующее значение функции. Перейдем от значения x к другому значению аргумента x1. Разность x – x1 обозначим через x и назовем приращением аргумента. Значение функции, соответствующее значению аргумента x1 = x + x, равно f(x+x). Разность f(x+x)–f(x) называется приращением функции в точке x, соответствующим приращению аргумента x, и обозначается y:
y = f(x+x) – f(x).
13.2. Определение производной функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x. Дадим аргументу x приращение x (при этом предполагается, что точка x+x принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение y=f(x+x)–f(x).
Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.
Производная функции y = f(x) в точке x обозначается символами . Итак, по определению
.
Как следует из определения, производная функции f(x) в точке x есть число, зависящее от рассматриваемого значения x (но не зависящее от x). Рассматривая производную функции f(x) в различных точках x мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, производная является функцией переменной x, определенной в области определения функции f(x) или в части этой области.
13.3. Геометрический смысл производной
П усть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую . Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая принимает различные положения. Предельное положение данной секущей – касательная.
Рассмотрим функцию .
Пусть , , – секущая, . Если неограниченно приближается к , то . Тогда .
.
Следовательно, значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .
Вспомнив вид уравнения прямой на плоскости с угловым коэффициентом, мы можем написать уравнение касательной к графику функции в точке касания (х0, у0), где :