13.4. Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется неравномерно по прямой. Каждому моменту времени t соответствует определенное расстояние S от этой точки до некоторой фиксированной точки прямой. Это расстояние зависит от времени: S=S(t).

Как известно, отношение приращения расстояния S ко времени t, за которое произошло это перемещение, выражает среднюю скорость точки: .

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени t называется мгновенной скоростью:

.

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути по времени: .

Вообще, если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная у´ есть скорость протекания этого процесса.

Пример 1. Скорость химической реакции.

Пусть дана функция , где – количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени . Приращению времени будет соответствовать приращение величины . Отношение – средняя скорость химической реакции за промежуток времени . Предел этого отношения при стремлении к нулю, т.е. есть скорость химической реакции в данный момент времени.

Пример 2. Рост популяции

Пусть – размер популяции бактерий в момент времени , тогда изменение размера популяции за время . Отношение – средняя скорость изменения размера популяции за время . Следовательно, – скорость роста популяции в данный момент времени .

Таким образом, на основании приведенных выше примеров можно заключить, что производная есть скорость изменения функции.

13.5. Дифференцируемость функций

• Если функция имеет производную в точке , т.е. если существует , то мы говорим, что при данном значении функция дифференцируема или имеет производную.

• Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то она называется дифференцируемой на интервале .

Теорема 13.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

(обратное, вообще говоря, неверно).

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной.

13.6. Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций

Для нахождения производной функции по определению, необходимо дать аргументу приращение , вычислить приращение функции и найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. Воспользуемся данным алгоритмом для доказательства следующих теорем.

Теорема 13.2. Производная постоянной функции равна 0, т.е. .

Доказательство. Пусть . Тогда и, следовательно, .

.

Теорема 13.3. Производная алгебраической суммы двух функций равна сумме производных этих функций, т.е. .

Доказательство. Пусть . Тогда

.

Т огда .

Замечание. Теорема верна и для любого конечного числа функций.

Теорема 13.4. Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции, т.е.

Следствие.

Теорема 13. 4. Производная частного двух функций равна произведению производной числителя умноженной на знаменатель минус производная знаменателя на числитель и делённое на квадрат знаменателя, т.е. .

Следствие. .