- •Тема III – основы математического анализа
- •§8. Множества и операции над ними
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Числовые множества
- •9. Функция
- •9.1. Понятия функции и ее графика
- •9.2. Способы задания функций
- •9.3. Некоторые свойства функций
- •9.4. Обратная функция
- •9.5. Основные элементарные функции
- •9.5. Сложная функция и элементарные функции
- •§10. Предел функции
- •10.1. Предел функции в точке
- •10.2. Односторонние пределы
- •10.3. Предел функции на бесконечности
- •10.4. Бесконечно большие функции
- •§11. Бесконечно малые функции
- •11.1. Определение и основные теоремы
- •11.2. Основные теоремы о пределах
- •11.3. Техника вычисления пределов. Примеры
- •11.4. Первый замечательный предел
- •11.5. Эквивалентные функции
- •11.6. Второй замечательный предел
- •11.7. Техника вычисления пределов вида .
- •§12. Непрерывность функции
- •12.1. Непрерывность функции в точке и в области
- •12.2. Основные теоремы о непрерывных функциях
- •12.3. Классификация точек разрыва
- •§13. Производная функции
- •13.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •13.2. Определение производной функции в точке
- •13.3. Геометрический смысл производной
- •13.4. Физический смысл производной
- •13.5. Дифференцируемость функций
- •13.6. Производная постоянной, суммы, произведения и частного двух функций
- •13.7. Производная сложной и обратной функции
- •13.8. Производные основных элементарных функций
- •13.9. Производная функции, заданной неявно
- •13.10. Логарифмическая производная
- •13.11. Производная функции, заданной параметрически
- •13.13. Примеры вычисления производных
- •13.14. Производные высших порядков
- •§14. Дифференциал функции
- •14.1. Понятие дифференциала функции
- •14.2. Основные теоремы о дифференциалах
- •14.3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •§15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Правило Лопиталя
- •15.2. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •15.3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:
9.3. Некоторые свойства функций
Функция , определяемая на множестве D является четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и . График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция определена на множестве D и пусть . Если для любых значений : , то функция называется возрастающей на множестве ; , то функция называется убывающей на множестве ; , то функция называется неубывающей на множестве ; , то функция называется невозрастающей на множестве . Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции на называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна называются интервалами монотонности.
Функцию , определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство . График ограниченной функции лежит между прямыми и .
Функцию , определенную на множестве D, называют периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и . Число называется периодом функции.
9.4. Обратная функция
Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции .
Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда каждому соответствует единственное и наоборот, то есть когда функция задает взаимнооднозначное соответствие между множествами и . Тогда всякая строго монотонная функция имеет обратную, при этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
9.5. Основные элементарные функции
Среди огромного числа функций в ходе развития математики была выделена небольшая совокупность сравнительно простых функций, особенно часто встречающихся в самых разнообразных приложениях математического анализа и поэтому подвергнутых наиболее подробному исследованию. Их называют основными элементарными функциями. К ним относят функции степенную, показательную и логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Степенная функция – это функция вида , где .
Пусть . Тогда данная функция определена для всех .
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Пусть n – целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех .
Рис. 4
Рис. 5
Пусть n – произвольное действительное число, тогда степенная функция будет определена при x > 0.
Рис. 6 .
|
Рис. 7 |
На рис. 7 представлена совокупность степенных функций при различных положительных значениях n.
Показательная функция – это функция вида , где и . Она определена при всех x.
Рис. 8
|
Рис. 9
|
На рисунке 10 представлена совокупность показательных функции при различных значениях основания .
Рис. 10
Логарифмическая функция – функция вида , . Она определена при .
Напомним, что, по определению логарифма, , так что логарифмическая функция является обратной для показательной функции .
Заметим, что одним из наиболее часто встречающихся и удобных является логарифм по основанию е – натуральный логарифм ; кроме того, всегда можно выразить .
Рис. 11
|
Рис. 12
|
Тригонометрические функции.
К тригонометрическим относят следующие функции: , , . . Их графики представлены на рисунках 13-16.
Рис.13
Рис.14
Рис. 15
Рис. 16
Обратные тригонометрические функции.
К обратным тригонометрическим функциям относят: - функция, обратная для функции sinx на интервале ее монотонности: ;
, ;
, ;
, .
Графики первых трех функций представлены ниже.
Рис. 17
|
Рис. 18
|
Рис. 19