Тема III – основы математического анализа
Под математическим анализом понимают систему дисциплин, предметом изучения которых являются количественные соотношения действительного мира, которые выражаются при помощи числовых величин (постоянных и переменных) и характеризуют некоторые процессы. Известно, что уже древнегреческие математики пользовались некоторыми методами математического анализа, а систематическое развитие эти методы получили в XVII веке.
§8. Множества и операции над ними
8.1. Основные понятия
В
основах математического анализа лежит
понятие множества.
Данное
понятие в математике не определено. Под
множеством
понимают совокупность некоторых
объектов, объединенных по какому либо
признаку. Объекты, из которых состоит
множество, называются его элементами.
Множество принято обозначать заглавными
буквами латинского алфавита: А, В, Х…,
а их элементы – малыми буквами a,
b,
x.
Если элемент принадлежит множеству Х,
то пишут
и
в случае, если элемент не принадлежит
множеству X.
Множество, не содержащее ни одного
элемента, называется пустым,
его обозначают .
Множество можно задать либо перечислением
его элементов, либо указанием правила
по которому элементы объединены в данное
множество. Например, множество X={дедка,
бабка, внучка, жучка, кошка, мышка} или
X={x:
x
– участник
сбора урожая репы}.
Множество A называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В (обозначается
).Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (обозначается
).Объединением множеств А и В (обозначается
)
называется множество, состоящее из
элементов, каждый из которых принадлежит
хотя бы одному из множеств. Кратко можно
записать следующим образом:
.Пересечением множеств А и В (обозначается
)
называется множество, состоящее из
элементов, каждый из которых принадлежит
множеству А и множеству В. Кратко:
.Разностью множеств А и В (обозначается
)
называется множество, состоящее из
элементов, каждый из которых принадлежит
множеству А и не принадлежит множеству
В. Кратко:
.
В дальнейшем при изложении будем использовать следующие символы:
–
влечет
;
–
и
равносильны;
– «для
всякого», «для любого»;
– «существует»,
«найдется»;
: – «такое что».
8.2. Числовые множества
Одним
из основных понятий математики является
число. В курсе высшей математики мы
будем изучать, в основном, числовые
множества. Понятие числа возникло в
древности и на протяжении длительного
времени подвергалось расширению и
обобщению. Первые представления о числе
возникли из счета предметов. Результатом
счета являются числа 1,2,3,…. Такие числа
называются натуральными
и обозначаются N.
На языке множеств можно записать
следующим образом: N={1,2,3,…}.
Натуральные числа, противоположные
числа и 0 образуют множество
целых
чисел: Z={0,1,-1,2,-2…}.
К рациональным
числам
относят числа вида
,
где
,
т.е.
={
:
}.
Все бесконечные непериодические дроби
образуют множество
иррациональных чисел.
Множество
действительных чисел
содержит все рациональные и иррациональные
числа, т.е. является объединением двух
множеств. Множество
можно изобразить в виде числовой оси,
где каждая точка является изображением
только одного действительного числа.
Множествами на такой числовой оси
являются следующие числовые промежутки
(здесь
):
Замкнутый
интервал (отрезок)
;
Открытый
интервал
;
Полуоткрытые
интервалы
Полубесконечные
интервалы
Бесконечный
интервал
.
Окрестностью точки
называется любой интервал (a,b),
содержащий точку
.
В частности интервал
, где
называется
окрестностью
точки
.
Далее приведем некоторые понятия, которые будут использоваться нами при изложении.
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа x называется неотрицательное число
,
определяемое соотношением
Геометрически
выражает расстояние на числовой прямой
от точки 0 до точки х.
Соответственно,
выражает расстояние от точки а
до точки х.
В частности,
окрестность
точки
можно описать неравенством
.
Приведем без доказательства следующие свойства абсолютной величины:
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
,
если |y|0.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные численные значения.
Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины.