Переходные процессы Переходные процессы в простейших цепях

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима работы электрической цепи к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего, например величиной амплитуды, фазы, частоты или значениями параметров схемы.

Коммутация это процесс замыкания и размыкания выключателей. Переходные процессы обычно являются быстропротекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже милиарные доли секунд. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд.

Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода электрической системы от одного энергетического состояния к другому, то есть это процесс перераспределения энергии между элементами цепи.

Рис. Схема цепи до и после коммутации

Р ассмотрим переходный процесс в простейшей цепи с источником напряжения, индуктивностью и сопротивлением соединённых последовательно.

Пример: ( ). Определим ток в цепи. Для этого запишем второй закон Кирхгофа для цепи после коммутации:

.

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения записывается в виде суммы двух составляющих – общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

Общее решение однородного уравнения легко найти разделив переменные и осуществляя следующую последовательность действий:

Частное решение неоднородного уравнения – это любое уравнение которое удовлетворяет уравнению, и его легко угадать посмотрев на уравнение:

,

и если предположить, что ток постоянный то мы получаем:

.

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения в виде:

.

Константу интегрирования A находим из начальных условий. В схеме до коммутации ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсутствовал. Следовательно, мы можем записать:

.

Запишем окончательное выражение для тока:

.

В электротехнике общее решение однородного уравнения называют свободной составляющей , потому что эта составляющая не зависит от источника энергии – внешнего воздействия. То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров цепи.

Частное решение неоднородного уравнения в электротехнике называют принуждённой составляющей . Она зависит от источника энергии и полностью повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и принуждённая составляющая будет иметь синусоидальный вид.

Если обратить внимание на решение то можно заметить, что свободная составляющие быстро затухает из-за наличия отрицательного сомножителя в показателе экспоненты , , именно она характеризует переходный процесс. Постоянную называют корнем характеристического уравнения, а обратную её величину называют постоянной времени, (это время за которое ток уменьшается в е=2.71 раз, е^-1=0,367) После быстрого затухания свободной составляющей остаётся только принуждённая составляющая это означает, что наступил установившийся процесс–установившийся режим работы цепи. Таким образом можно сказать, что при установившемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей принуждённой составляющей. Например, для нашего примера это можно записать так:

.

Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак, величина искомого тока будет состоять из суммы двух составляющих свободной и принуждённой, первая из которых быстро затухает и имеет экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего воздействия:

С начало находим принуждённую составляющую в схеме после коммутации при ,считая, что индуктивность является закороткой

Затем используя начальные условия находим константу интегрирования А

Записываем полученное решение

.

Теперь осталось найти корень характеристического уравнения .

Корень характеристического уравнения находится через входное сопротивление схемы. Если сделать замену и поставить в выражение для сопротивления схемы то можно получить:

Из которого легко получить корень характеристического уравнения. Приведём графическую зависимость результата

Напомним, что напряжение на индуктивности определяется выражением .

Взяв производную тока по времени, и умножив на индуктивность, получаем

Рис . Рис.

Запишем последовательность действий для решения задачи на переходный процесс:

1. Записываем решение в виде свободной и принужденной составляющих или .

2. Определяем принужденную составляющую в схеме после коммутации или

3. Определяем корень характеристического уравнения через входное сопротивление , в схеме после коммутации.

4. Определяем константу интегрирования из начальных условий.

5. Записываем окончательное решение и строим график.

В качестве примера рассмотри цепь с конденсатором. Найдём закон изменения напряжения на конденсаторе при его зарядке.

1. Запишем искомое решение в виде двух составляющих, принуждённой и свободной:

2.После коммутации при установившемся режиме не будет тока и конденсатор будет заряжен до величины . Следовательно

.

3. Корень характеристического уравнения находим через входное сопротивление в схеме после коммутации

.

4. Находим константу интегрирования А из начальных условий. До коммутации ключ был разомкнут, и напряжение на конденсаторе отсутствовало

.

5. Записываем окончательный результат:

Находим ток, через конденсатор, используя выражение

Строим графические зависимости тока и напряжения для конденсатора.