Немного о комплексных числах

Комплексное число – это вектор на плоскости. Он имеет модуль и угол наклона к оси

К омплексное число может представляться в алгебраическом, тригонометрическом и показательном видах соответственно:

где . Очень важной является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспоненциальные функции.

П ример. Рассмотрим электрическую цепь с заданными параметрами:

Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура представленной схемы. Сумма напряжений на пассивных элементах равно величине воздействующего ЭДС.

В соответствии с символическим методом можно сделать замену:

Подставим все величины в уравнение для напряжений, и в результате получим:

Коэффициенты пропорциональности при токах имеют размерность сопротивления и обозначаются следующим образом:

– индуктивное сопротивление,

– емкостное сопротивление,

Теперь можно записать мгновенное значение тока:

.

Факт присутствия комплексной единицы перед индуктивным сопротивление означает, что напряжение на индуктивности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.

Факт присутствия отрицательной комплекной единицы перед ёмкостным сопротивлением означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.

(См. W_Bench)

Показания приборов

Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротехнике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы не успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают не амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое средне-квадратическим значением или действующим значением, которое определяется соотношением:

С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например:

Рассмотрим пример использования символического метода для решения задач.

(См. приложение Mathcad)

Векторные диаграммы – фазовые соотношения между величинами

Поскольку любой синусоидальной величине сопоставляется комплексный вектор то в результате проведённых расчетов можно увидеть фазовые соотношения между величинами в комплексной плоскости (см два предыдущих рисунка).

Мощность в цепи переменного тока

(См. приложение Mathcad)

Полная мощность определяется выражением

, P - активная мощность, Q - реактивная мощность.

Активная и реактивная мощности определяются соотношениями соответственно:

.

Магнитносвязанные катушки

Резонанс напряжений Колебания электрической цепи не связанные с источником энергии, называются собственными или свободными Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и ёмкостью, характеризующийся равенством индуктивного и ёмкостного сопротивлений, называют резонансом напряжений. Напряжение на индуктивности и ёмкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входе, которое равно напряжению на активном сопротивление Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний контура (они совпадают только в теоретическом случае, когда катушка индуктивности и конденсатор без потерь) Полоса пропускания устанавливается на высоте сигнала равного значению 0.707 Im. Im - максимальное значение ток Чем выше добротность контура Q (и уже полоса пропускания) тем выше селективность контура (лучше избирательная способность) При резонансе происходит совпадение по фазе входного напряжения e(t) и тока i(t) протекающего в контуре. Характер сопротивления становится чисто активным в следствии совпадения по величине емкостного и индуктивного сопротивлений