Метод пространство состояний

Переменные состояния представляют собой систему наименьшего числа независимых величин необходимых для полного определения поведения динамической системы. Переменные состояния это токи индуктивностей и напряжения емкостей, именно они определяют состояние системы. В математической форме уравнения состояний для сложной цепи имеют вид

(8)

В качестве примера составим уравнения состояний для схемы, приведённой на рис. 3.

Рис. 3.

Пример 1. Определить ток индуктивности и напряжения на ёмкостных элементах после включения ЭДС, если

Решение. Для составления уравнения состояний эффективно использовать решающие функции программно-интегрирующей среды MathCAD, такие как Given и Find. Запишем уравнения, связывающие токи и напряжение с напряжениями на ёмкостях и током индуктивности. Для этого используются первый и второй законы Кирхгофа. В нашем примере матрицы будут равны

(10)

После подстановки числовых значений получаем:

(11)

После определения матриц необходимо проверить правильность составления уравнения состояний. Это можно сделать, определив корни характеристического уравнения через сопротивление схемы:

. (12)

Корни характеристического уравнения должны полностью совпасть с собственными числами матрицы состояния  (см. рис. 4). Затем следует проверить принуждённые составляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем случае они определяются соотношениями:

(13)

С помощью матричных соотношений их легко проверить:

(14)

Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно.

Аналитический метод решения переходных процессов методом переменных состояния Находим матрицу состояния A, используя операции Given и Find. Составляем уравнения относительно переменных состояния Uс1, Uc2 и iL Дано: Записываем матрицу переменных состояния A и матрицу столбец правых частей BF, где B - матрица связи (размерности n x n), F-матрица столбец (размерности n x 1). Внимание!!! Произведение матриц BF здесь обозначено как B! Рис. 4. Первая страница программы MathCAD

Определяем собственные числа матрицы состояния A =>  Для проверки определяем корни характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p) Для проверки определяем принуждённые составляющие Рис. 5. Вторая страница программы MathCAD

Теперь обращаемся к одной из стандартных процедур решения системы дифференциальных. уравнений

Расширенная матрица Метод Рунге Кутта