Ргр №3 расчет переходных процессов в линейных цепях Цепь I-го порядка

Рассчитать ток источника ЭДС и напряжение на источнике тока :

1. при постоянном источнике или классическим и операторным методом и построить временной график;

2. при гармоническом источнике или классическим методом;

3. операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля при экспоненциальном воздействии или , где - постоянная времени цепи;

4. с помощью интеграла Дюамеля в буквенном виде при импульсном воздействии

где t₁ = 0,5τ, τ – постоянная времени цепи.

Построить качественный график i_e(t) или U_i(t) для времени 0 4t₁. Предварительно привести подобные в аналитических выражениях.

Цепь II-го порядка

При постоянном воздействии E = U_o:

5. классическим методом определить ток i_L, и напряжение на конденсаторе U_C;

Определить i_L(t) - студентам с фамилиями на А – Л и U_C(t) - с фамилиями на М – Я.

Построить графические зависимости i_L, или U_C..

6. методом переменных состояния определить ток индуктивности и напряжение на емкости i_L, U_C. Построить графические зависимости i_L, U_C.

ПРИМЕЧАНИЕ. На схемах показано положение ключей до коммутации.

Таблица 1

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Uo,B	120	240	125	150	180	200	210	230	250	260
Ψ, град	90	0	180	-90	-90	-90	30	30	-30	-30
R, Ом	20	24	25	30	36	40	42	46	50	52

Таблица 2

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ω, с-1	100	200	400	400	500	500	800	125	250	50
L, Гн	0,5	0,25	0,2	0,1	0,08	0,16	0,05	0,6	0,3	0,4
C, мкФ	500	250	200	100	80	160	50	160	80	400

Схемы цепей I-го порядка

Схемы цепей II-го порядка

Лекция № 12

Линиии с распределенными параметрами

Электрическими линиями с распределенными параметрами называются такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к другой соседней точке.

Эффект непрерывного изменения тока и напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями.

На рисунке изображен участок линии с распределенными параметрами, через обозначен бесконечно малый элемент длины линии.

В результате утечки через поперечные сопротивления токи на соседних участках линии неодинаковы. Вследствие этого и падение напряжения на соседних поперечных сопротивлениях разделенных участком тоже отличаются.

В электрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованны активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной . Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины, и если равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины.

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны и поперечные сопротивления неодинаковы.

Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обычно этот термин мысленно связывают с мощными линиями передач электрической энергии на большие расстояния, с телефонными телеграфными воздушными и кабельными линиями, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками.

Пусть – продольное активное сопротивление единицы длины линии;

– индуктивность единицы длинны линии; – емкость единицы длины линии; –поперечная проводимость единицы длины линии (она не является обратной величиной продольного сопротивления );

Разобьем линию на участки длиной (см. рис), – расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине активное сопротивление рано , индуктивность – , проводимость утечки – и емкость – .

И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии и времени .

Обойдем, выделенный участок линии по контуру и запишем для него второй закон Кирхгофа - сумма падений напряжения для замкнутого контура равняется нулю:

.

Сократив на и поделив на получаем выражение:

.

Запишем первый закон Кирхгофа для выделенного узла –1:

(1)

Ток равен сумме токов, проходящих через проводимость и емкость :

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим

(2)

Подставляя (2) в (1) и поделив на , после упрощения получаем

Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в математической физике называются телеграфными уравнениями:

(2а)

Чтобы решить эти уравнения, воспользуемся символическим методом

Введем изображения токов и напряжений

(3)

Здесь- и комплексные величины тока и напряжения соответственно.

Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие соотношения

,

Подставив все выше полученные выражения в телеграфные уравнения, и сократив на множитель , получим

(2б)

Введя обозначения , и опуская зависимость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравнения можно переписать

(2в)

Продифференцируем первое уравнение по и подставим в него второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

(2г)

Будем искать решение в виде . Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно

.

Теперь решение можно записать в виде

.

Здесь комплексные константы которые определяются с помощью граничных условий, комплексное число принято называть постоянной распространения. Запишем его в алгебраической форме

,

где – коэффициент затухания (характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линии); – коэффициент фазы (пространственная частота); он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии. Размерность величин .

Найдём ток из уравнений

Величину, стоящую в знаменателе называют волновым сопротивлением и обозначают :

.

Следовательно, ток можно записать

.

Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения:

В результате получим

Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами – длинной волны и фазовой скоростью . Скорость распространения – и длину – волны можно определить, используя выражения:

,

.