Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы тока и напряжения в начале линии

Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии:

. (4)

Пусть в начале линии при напряжении и , тогда можно получить:

.

Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в результате получим выражение для константы :

.

Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выражение для константы :

.

Поставим найденные константы в выражения для напряжения:

.

Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции синус и косинус:

.

Приведём графический вид функций , .

ch(x)

Теперь выражения для напряжения и тока можно переписать в виде:

(5)

sh(x)

Используя это выражение можно получить связь между величинами в начале и в конце линии. Поставим в выражения (5), здесь длина линии:

(6)

Решим уравнения (6) относительно и , получим систему уравнений позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при известных значения в конце линии.

. (7)

Если ввести обозначения то мы получаем уравнение четырехполюсника

. (8)

Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется:

. (9)

Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии , а длину всей линии :

. (10)

Пусть известны напряжения и ток в конце линии и . Будем использовать эти значения как граничные условии при . На основании системы уравнений (4) получаем:

. (11)

Решая систему относительно констант и :

(12)

Подставив найденные значения постоянных и в систему (4) получаем:

. (13)

Линии без потерь

Строго говоря, линии без потерь не существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми и по сравнению с и соответственно). В ряде случаев, в особенности при высоких частотах, когда >> и >> , можно пренебречь наличием потерь в линии и принять и . В этом случае коэффициент затухания , и коэффициент распространения становится чисто мнимой величиной , , а волновое сопротивление является чисто активным:

. (15)

Для определения напряжения и тока в любой точке линии обратимся к системе уравнений (13)

, (16)

и учтем, что , и перепишем уравнения (16):

, (17)

Используя те же выражения для системы (5) можно записать уравнения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии:

, (17a)

Коэффициент отражения

Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают . В соответствии с формулой (12)можно получить:

Из этого выражение видно, что при согласованной нагрузке мы получаем , и следовательно нет отражённой волны, а при холостом ходе мы получаем то есть волна полностью отражается.