Метод расчета переходных процессов в цепи переменный тока

Для расчета переходный процессов в цепи переменного тока используют символический метод

Пример: Определить ток источника напряжения если

Р ешение: Находим индуктивное сопротивление и комплекс напряжения .

Ищем решение в виде

1. Определяем принужденную составляющую в цепи после коммутации, используя символический метод

Определяем мгновенное значение принужденного тока

2. Определяем корень характеристического уравнения

3. Определяем независимые независимые начальные условия используя символический метод.

4. О пределяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации, заменяя индуктивность источником тока равным .

5. Определяем константу интегрирования

6. Записываем решение и строим график.

Строим зависимость в пределах одного периода

Переходные процессы в цепи второго порядка

Рассмотрим цепь второго порядка представленную на рисунке с параметрами:

Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:

(1)

Решение данного уравнения будем искать в виде суммы двух составляющих:

. (2)

Первое слагаемое это свободная составляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от начальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не зависит от формы воздействующего напряжения.

Второе слагаемое это принуждённая составляющая. Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как .

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.

Для определения констант интегрирования используем независимые начальные условия .

(3)

Откуда следует, что

(4)

Теперь можно записать окончательное решение

Определим корни характеристического уравнения входящие в решение через входное сопротивление схемы.

(5)

В результате решения уравнения получаются корни:

(6)

Где – показатель затухания контура, – угловая частота незатухающих колебаний, – частота свободных колебаний,

Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут принимать следующие возможные значения.

• Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и кратные. Критический режим

.

• Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицательные и неравные. Апериодический режим

.

• Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим

С оответствующее расположение корней указанно на комплексной плоскости.

Операторный метод расчёта переходных процессов

Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображений). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изображением) производится обратное преобразование Лапласа, получается оригинал. Полученный оригинал – это функция, которая и будет решением дифференциального уравнения.

Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа

(1)

здесь – изображение, – оригинал. Выражение (1) записывают ещё и в операторной форме .

Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций.

Определим изображение константы – :

Найдем изображение экспоненциальной функции – :

Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изображения синусоидальной косинусной функций– . Для этого запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований:

Определим изображение производной функции , имеющей изображение

И, наконец, определим изображение интегрального выражения

таблица преобразований лапласса

-оригинал	-изображение
1

Вернёмся теперь к переходным процессам.

Итак, мы будем сопоставлять каждой функции его изображение. Например . С учётом полученной таблицы можно сопоставить каждому элементу его изображение:

Заметим, что для того, что бы построить изображение схемы, нужны независимые начальные условия .

После того как построена схема изображений, в пространстве изображений находятся желаемые токи и напряжения с использованием известных методов расчета (МКирхгофа, МУП, МКТ и т.д.). Для перехода к оригиналу (к временной зависимости) необходимо использовать теорему разложения:

где p_k – корни уравнения

где p_k – корни уравнения

Пример: Определить ток источника напряжения если .

1. Ищем независимые начальные условия

2. Рисуем операторную схему замещения после коммутации и находим изображение тока

,

где .

Находим корень знаменателя и его производную ,

Для определения оригинала используем теорему разложения

Интеграл Дюамеля Полный ток в момент t получаем, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току : Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени на бесконечно малый и перейдем от суммы к интегралу: или Пример:                             Находим переходную проводимость i(t) : Ищем решения в виде:            Находим ток на первом интервале i(t) 0 < t <  : Находим ток на втором интервале i(t) t1 < t < ∞ :