4. Приближённое решение задачи оптимального управления 53

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 53

4.2. ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 53

4.2.1. Описание градиентного метода в функциональном пространстве. 53

4.2.2. Алгоритм метода. 55

4.2.3. Порядок выполнения лабораторной работы. 57

4.2.4. Задания для лабораторной работы. 58

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 59

Введение

Пособие предназначено в помощь студентам, обучающимся по специальностям направления “Информатика и вычислительная техника“, при изучении ими дисциплины “Методы оптимизации”. Целью изучения данной дисциплины является практическое усвоение основных численных методов оптимизации, формирование умения и навыков их алгоритмической и программной реализации, анализа и исследования эффективности вычислительных процедур поиска решения.

В пособии приводится достаточно полное описание основных численных методов оптимизации и алгоритмов их реализации, подробно разбираются типовые примеры. Для усвоения материала предполагается выполнение лабораторных работ по изучаемым методам.

В процессе выполнения каждой лабораторной работы студенты проводят полный учебно-исследовательский цикл по решению экстремальных задач с применением компьютера. Каждый студент получает индивидуальное задание, в котором указывается конкретный вид задачи, предложенные для исследования алгоритмы ее решения, набор исходных значений параметров.

Применение компьютерного комплекса программных модулей, обеспечивающего компьютерную поддержку основных численных методов оптимизации, позволяет студенту за ограниченное время лабораторного занятия получить фактический материал, достаточный для сравнительного анализа и обоснованного вывода о влиянии параметров алгоритма на сходимость вычислительных процедур и о эффективности изучаемых методов.

1. Методы одномерной оптимизации

Задача одномерной оптимизации заключается в минимизации или максимизации целевой функции, зависящей от одной переменной, на допустимом множестве в виде отрезка вещественной оси. Поскольку максимизация целевой функции f(x) эквивалентна минимизации противоположной величины -f(x), то будем рассматривать только задачи минимизации. Под минимизацией функции f(x) понимается определение точки минимума этой функции на допустимом множестве, а также и её минимального значения. Таким образом приходим к следующей постановке.

Решить задачу одномерной оптимизации

min {f(x) | a £ x £ b} (1.1)

т.е. найти число x*Î[a ;b], такое что f(x*) £ f(x), "xÎ[a;b].

Здесь a, b – заданные числа, причем a < b; функция одной переменной f(x) унимодальна на отрезке [a;b].

Поставленная задача (1.1) может быть, вообще говоря, решена классическим методом с помощью необходимых и достаточных условий безусловного экстремума. А именно, используя необходимое условие экстремума

(x) = 0, (1.2)

находятся все стационарные точки на интервале (a;b). В найденных стационарных точках проверяется достаточное условие и выделяются из них точки локального минимума, в которых выполнилось условие

f " (x) > 0 . (1.3)

Далее сравниваются значения функции f(x) в выделенных точках и на концах отрезка [a,b]. Наименьшему из этих значений и будет соответствовать точка глобального минимума функции f(x) на отрезке [a,b].

Однако, даже если функция f(x) задана аналитически и производная (x) найдена, то решение уравнения (1.2) зачастую вызывает затруднения. Кроме того, вычисление производных может быть весьма трудоемко или же функция f(x) может быть задана не аналитически. Поэтому классический метод имеет ограниченное применение и для решения задачи (1.1) на практике, как правило, применяют приближенные методы.

Начнём изучение с простейших приближённых методов, позволяющих найти решение задачи (1.1) с необходимой точностью в результате определения конечного числа значений функции f(х) в некоторых точках отрезка [a ;b]. Такие методы называют прямыми методами одномерного поиска.