3.1.3. Комбинированный метод штрафных функций

Вернемся к рассмотрению задачи условной оптимизации (3.1) со смешанными ограничениями. Данный метод является обобщением методов, изученных в предыдущих пунктах 3.1.1 и 3.1.2. А именно, для учета ограничений типа равенств применяют штрафные функции (как в методе внешней точки), дляограничений типа неравенств – барьерные функции.

Таким образом, в основе комбинированного метода лежит сведение исходной задачи условной минимизации (3.1) к последовательности задач без ограничений вида

,

где присоединенная функция имеет вид

(3.9)

Начальная точка задается внутри допустимой области R, то есть при строгом выполнении ограничений типа неравенств , s=1,...,p. На каждом k-том этапе точка минимума расширенной функции ищется при заданном значении r_k с помощью одного из методов безусловной минимизации. Полученная точка используется в качетве начальной на следующем этапе, выполняемом при уменьшающемся значении параметра r_k. При последовательность точек стремится к точному решению X^* исходной задачи.

3.1.4. Типовой пример

Найти минимум функции f(X)=(x₁-2)²+(x₂-1)² при смещанных ограничениях h(X)=x₁-2x₂+1=0; g(X)=-0,25x₁²-x₂²+10.

Воспользуемся комбинированным методом штрафных функций.

Построим расширенную функцию: ;

Минимизацию F(X,r) выполним градиентным методом в соответствии с которым направление спуска выбирается по антиградиенту . Тогда минимизирующая последовательность построится по рекуррентной формуле

, k=0,1,2,...

Для этого на каждом шаге нам понадобятся значения функций:

;

;

Следуя методу градиентного спуска, координаты (k+1)-й точки X^k+1 будут вычисляться так:

; .

В качестве исходной точки выберем X⁰=(0,5;0,5). Результаты решения последовательности задач при увеличивающемся значении r, начиная с r=1, приведены в таблице

N	r			f(X*(r))	h(X*(r))	g(X*(r))
0	1	0,500	0,500	2,500	0,500	0,680
1	10	0,872	0,841	1,298	0,190	0,210
2	100	0,846	0,885	1,345	0,076	0,038
3	1000	0,838	0,904	1,359	0,030	0,007
Точное решение		0,823	0,911	1,393	0	0

3.1.5. Задание для лабораторной работы

Решить задачи условной оптимизации со смешанными ограничениями:

1. Найти минимум функции f(X)=x₁²+x₂²-4x₁-2x₂+5 при ограничениях h(X)=-x₁+2x₂=1; g(X) = -0,25x₁²-x₂²1;

2. Найти минимум функции f(X)=x₁²+x₂²-16x₁-10x₂+89 при ограничениях h(X)=2x₁²-12x₁+9x₂-27=0; g(X) = -5x₁²+16x₂+800;

3. Найти минимум функции f(X)=x₁²+x₂²-14x₁-4x₂+53 при ограничениях h(X)=2x₁²+25x₂ – 125=0; g(X) = -x₁²+2x₁+4x₂-30;

4. Найти минимум функции f(X)=x₁²+9x₂²-10x₁-18x₂+34 при ограничениях h(X)=x₁+x₂ – 5=0; g(X) = -0,5x₁²+x₂ - 4.50;

5. Найти минимум функции f(X)=x₁²+4x₂²-10x₁ -16x₂+41 при ограничениях h(X)=x₁²-4x₁+x₂ -1=0; g(X)=-x₁²+4x₁+3x₂ -30;

6. Найти минимум функции f(X)=x12+4x22-8x1-16x2+32 при ограничениях h(X)=-x1+x2 -1=0; g(X)=-2x12+4x1+x2-10;

7. Найти минимум функции f(X)=x₁²+9x₂²-10x₁-36x₂+61 при ограничениях h(X)=x₁²-4x₁+4x₂- 12=0; g(X)=-3x₁²+7x₂ + 270;