Справочник по элементарной математике

Степени и логарифмы.

Степени:

(a×b)^x=a^x×b^x;

Логарифмы:

log_aa=1 (a>0, a¹1); log_a(a^k)=k (a>0, a¹1);

log_a(M₁M₂)=log_aM₁+log_aM₂ (M₁>0, M₂>0);

(M₁>0, M₂>0);

log_a(b^c)=clog_ab;

Алгебра

Формулы сокращенного умножения:

(x+c)(x-c)=x²-c²; (x+c)(x²-xc+c²)=x³+c³;

(x-c)(x²+xc+c²)=x³-c³.

Формулы Виетта для корней квадратного уравнения x²+px+q=0:

x₁+x₂=-p, x₁×x₂=q.

Корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0:

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэф-фициентом ax²+2kx+c=0:

Корни приведенного квадратного уравнения

x²+px+q=0:

Простейшие неравенства:

|a+b|£|a|+|b|; |a-b|³|a|-|b|; a²+b²³2ab;

(a и b - числа одного знака);

Геометрия

Треугольник.

Площадь треугольника:

S=

S= S= S= S=pr.

Здесь a, b, c - стороны треугольника, h_a, h_b, h_c высоты, p= - полупериметр, R - радиус окружности, опи-санной около треугольника, r - радиус окружности, вписан-ной в треугольник, g - угол, лежащий между сторонами a и b.

Прямоугольник.

Площадь прямоугольника:

S=ab,

где a и b - смежные стороны прямоугольника.

Площадь квадрата:

S=a²,

где a - сторона квадрата.

Трапеция.

Площадь трапеции:

S=

где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Круг и окружность.

Площадь круга радиуса r:

S=pr².

Длина окружности радиуса r:

L=2pr.

Площадь сектора с угловой величиной дуги a:

S_ñåêò=

Многоугольник.

Площадь правильного n-угольника равна половине про-изведения его периметра на радиус вписанной окружности:

Площадь правильного n-угольника:

S=

где R - радиус описанной окружности.

Призма.

Площадь боковой поверхности:

S_áîê=P_n|A₁A₂|,

ãäå P_n - периметр перпендикулярного сечения призмы, |A₁A₂| -длина бокового ребра.

Объем призмы:

V=S_n|A₁A₂|,

ãäå S_n - площадь перпендикулярного сечения призмы, |A₁A₂| - длина бокового ребра,

èëè

V=S_îñíH,

ãäå S_îñí - площадь основания призмы, H - высота призмы.

Объем прямоугольного параллелепипеда:

V=abc

(a, b, c - измерения параллелепипеда).

Объем куба:

V=a³

(a - измерение куба).

Пирамида.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

S=

где P - периметр основания пирамиды, h - апофема.

Объем пирамиды:

V=

где S - площадь основания пирамиды, H - выcота пирамиды.

Усеченная пирамида.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:

S=

где P, p - периметры оснований пирамиды, h - апофема.

Объем усеченной пирамиды:

V=

где H - высота усеченной пирамиды, S₁ è S₂ - площади оснований усеченной пирамиды.

Цилиндр.

Объем цилиндра:

V=pR²H,

где R - радиус основания цилиндра, H - высота цилиндра.

Площадь боковой и полной поверхности цилиндра:

S_áîê=2pRH;

S_öèë=2pRH+2pR²,

где R - радиус основания цилиндра, H - высота цилиндра.

Конус.

Объем конуса:

V_êîí=

где R - радиус основания конуса, H - высота конуса.

Площадь боковой поверхности конуса:

S_áîê=pRL,

где L - образующая конуса.

Усеченный конус.

Объем усеченного конуса:

V=

где H - высота усеченного конуса, R₁ è R₂ - радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

S_áîê=p(R₁+R₂)L,

где L - образующая усеченного конуса.

Сфера и шар.

Площадь сферы радиуса R:

S=4pR².

Объем шара радиуса R:

V=

Тригонометрия

;

sin2a=2sinacosa;

cos2a=cos²a-sin²a=1-2sin²a=2cos²a-1;

1+cosa= ; ;

;

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

,

(a, b, c -стороны треугольника лежащие против углов a, b, g соответственно, R - радиус описанной окружности).

Прогрессии

Арифметическая прогрессия.

Формула n-го члена и сумма первых n членов:

a_n=a₁+d(n-1), S_n=

Геометрическая прогрессия.

Формула n-го члена и сумма n первых членов:

u_n=u_1×q^n-1, Sn=

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S=