3. Дифференцирование сложных функций.
Пусть z=f(x,y) - дифференцируемая функция двух переменных и x=x(t), y=y(t) - дифференцируемые функции переменного t. Тогда производная сложной функции z(t)=f(x(t),y(t)) вычисляется по формуле
Если z=f(x,y) и y=y(х), то полная производная от z по х находится по формуле
Если же z=f(x,y) и x=x(,), y=y(,), то частные производные функции z(,)=f(x(,),у(,)) выражаются так
,
Пример
1. Найти dz/dt, если z=
,
x=acost, y=asint.
Решение. Имеем
=
2x(-asint)+
2y(acost)=
=2a (ycost-xsiny).
Выразив х и у через t, получим
=2a
(asintcost-acostsiny)=0.
Пример 2. Найти z/x и dz/dx, если z=ln(x2-y2), ó=ex.
Решение.
Имеем
.
Применяя формулу полной производной,
находим
=
.
Задача 17. Дана функция z=f(x,y) и точки Р1 è Ð2. Требуется:
1. Вычислить точное значение функции z=f(x,y) в точке Р1 и с помощью дифференциала ее приближенное значение в точке Р2.
2. Вычислить относительную погрешность этого прибли-жения.
3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке Р1.
N |
функция |
P1 |
P2 |
1 |
z= |
(1 ; 1) |
(0,98 ; 1,03) |
2 |
z=lnx - yx |
(e ; 1) |
(2,73 ; 1,03) |
3 |
z=ln(x3+y2) |
(0 ; 1) |
(0,09 ; 0,99) |
4 |
z= |
(1 ; 0) |
(1,02 ; 0,05) |
5 |
z= |
(0 ; 2) |
(0,02 ; 2,03) |
6 |
z= |
(1 ; 2) |
(1,04 ; 1,98) |
7 |
z= |
(p/2 ; 0) |
(1,55 ; 0,015) |
8 |
z=x2 - 2xy2+lny |
(-2 ; 1) |
(-1,97 ; 0,92) |
9 |
z= |
(3 ; -2) |
(2,97 ; -1,95) |
10 |
z= |
(1 ; 0) |
(0,98 ; 0,03) |
4. Производная по направлению и градиент.
Производной функции z=f(x,y) â направлении вектора l=MM1 называется предел
.
Если функция z=f(x,y) дифференцируема, то ее произ-водная в данном направлении вычисляется так:
,
где - угол, образованный направлением l c положительным направлением оси ОХ. Заметим, что производная по направлению l есть скалярное произведение двух векторов: l/l - единичного вектора (орта) направления l и вектора
.
Этот вектор называется градиентом функции z=f(x,y). Градиент указывает направление скорейшего роста функции в данной точке. Производная z/l в направлении градиента имеет наибольшее среди всех возможных направлений значение равное
.
Пример 1. Найти производную функции z=x2y3 в точке М(1,1) в направлении вектора l=MN, ãäå N(4,5).
Решение. Вычислим градиент функции в точке М:
=
,
.
Далее найдем вектор l=MN=3i+4j и единичный вектор этого направления
l/l=(3i+4j)/
=(3i+4j)/
.
Теперь имеем
.
Пример 2. Найти производную функции z=ln(x2+y2) в точке М(3,4) в направлении ее градиента.
Решение. Здесь вектор l совпадает с градиентом нашей функции в точке М и равен
.
Следовательно,
.