Глава 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных.

1. Область определения и поверхности уровня функции.

Пусть D - множество точек плоскости. Функцией двух переменных z=f(x,y) называется закон или правило, согласно которому каждой точке множества D (паре действительных чисел (х,у)) ставится в соответствие единственное, вполне определенное число. При этом множество D=D(f) называется областью определения функции, а множество E=E(f) чисел вида z=f(x,y), где (х,у) пробегает множество D, - ее множеством значений.

Область определения функции в простейших случаях представляет собой либо часть плоскости ХОУ. ограниченной замкнутой кривой, либо совокупность таких частей. При этом, точки самой кривой - границы области, могут как принадлежать, так и не принадлежать области определения функции.

Аналогично определяется понятие функции любого конечного числа независимых переменных u=f(x,y,z,...t).

Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия f(x,y)=С плоскости ХОУ, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=C.

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Функция принимает действительные значения при условии a²-x²-y²0, òî åñòü x²+y²a². Областью определения функции является круг радиуса а с центром в начале системы координат, включая граничную окружность.

Пример 2. Найти область определения функции

z=arcsin(x/y²).

Решение. Данная функция имеет смысл, если у0 и -1x/y²1, òî åñòü -y²xy². Областью определения функции является часть плоскости, заключенной между параболами х=y² è y²=-х, за исключением точки О(0,0).

Пример 3. Найти линии уровня функции z=x²+y².

Решение. Уравнения семейства линий уровня имеют вид x²+y²=С (С>0). Придавая постоянной С различные зна-чения, получим семейство концентрических окружностей с центром в начале системы координат.

2. Производные и дифференциалы.

Частной производной от функции z=f(x,y) по независимой переменной х называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном значении у.

Частной производной по независимой переменной у назы-вается конечный предел

,

вычисленный при постоянном значении x.

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Полным приращением функции z=f(x,y) называется разность z=f(x+x,y+y)-f(x,y), где х и у - произвольные приращения аргументов.

Полным дифференциалом dz функции z=f(x,y) называется главная часть ее полного приращения, линейная относительно приращений аргументов х и у. По определению дифференциала z=dz+o(dz) и dx=х, dy=у. Справедлива следующая формула для вычисления дифференциала функции

Аналогично, полный дифференциал функции трех незави-симых переменных u=f(x,y,z) вычисляется так:

При достаточно малом для диф-ференцируемой функции z=f(x,y) справедливы равенства

zdz, f(x+x,y+ó)f(x,y)+dz.

Частными производными второго порядка от функции z=f(x,y) называются производные от ее частных производных первого порядка

,

, .

Смешанные частные производные второго порядка отли-чаются друг от друга лишь порядком дифференцирования и равны между собой, если они непрерывны

=

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высоких порядков, например

,

Пример 1. Найти è , åñëè z=x³-3xy-4y²-x+2y+1.

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, нахо-дим =3x²-3y-1. Рассматривая x как постоянную величину, находим =3x-8y+2.

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем частные производные

,

.

Следовательно, .

Пример 3. Вычислить приближенно

.

Решение. Рассмотрим функцию . В точке M(/2,0) эта функция принимает значение z(x,y)= =3. Поскольку х=/21,571, то обозначим х=0,021 и у=0,015. Искомое число есть значение нашей функции в точке (х+х,у+у). Вычислим приращение функции

z ,

откуда

.

Следовательно,

=z(õ+õ,ó+ó)=z(õ,ó)+z=3+0,02=3,02.

Пример 4. Показать, что функция z=x/y удовлетворяет уравнению

Решение. Последовательно вычислим частные производ-ные

Подставляя найденные производные в уравнение, получим

.