6. Экстремум функции двух переменных.

Функция x=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке М₀(õ₀,ó₀), если значение функции этой точке больше (меньше) значений функции в любой точке М(х,у) из достаточно малой окрестности точки М₀. Это означает, что f(х₀,ó₀)>f(x,y) (соответственно f(х₀,ó₀)<f(x,y)) для всех точек М(х,у), удовлетворяющих условию M₀M<, где  - достаточно малое положительное число.

Максимум или минимум функции называют ее экстремумом, а точки, в которых функция имеет экстремум - ее точками экстремума.

Пусть функция z=f(х,у) достигает экстремума в точке М₀(õ₀,ó₀). Тогда точка х₀будет точкой экстремума функции одной независимой переменной (х)=f(х,у₀), а точка у₀ - точкой экстремума функции (у)=f(х₀,у). Значит, в соответ-ствующих точках производные этих функций должны обра-щаться в ноль: '_x(x₀)='_y(y₀)=0. Поскольку эти производ-ные совпадают с частными производными функции f(х,у) по переменным х и у соответственно, то в точке экстремума функции двух переменных обе ее частные производные первого порядка должны быть равны нулю:

(необходимое условие экстремума).

Точки, в которых обе частные производные функции равны нулю, называются ее стационарными точками. Заметим, что как и в случае функции одной независимой переменной, не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть М₀(õ₀,ó₀) - стационарная точка функции. Обозначим

и составим дискриминант =АС-В².

Тогда:

если >0, то функция имеет в точке М₀ экстремум. Тип экстремума определяется знаком коэффициента А (или С, поскольку знаки этих коэффициентов всегда одинаковы).

Åñëè À<0, òî Ì₀ - точка максимума.

Åñëè À>0, òî Ì₀ - точка минимума.

если <0, то функция не имеет экстремума в точке М₀_.

если =0, то требуются дальнейшие исследования.

Пример. Найти экстремум функции z=x²+xy+y²-3x-6y.

Решение. Найдем частные производные первого порядка

В стационарных точках функции обе ее частные производные первого порядка обращаются в ноль, поэтому координаты стационарных точек являются решениями системы урав-нений:

откуда х=0, у=3, то есть наша функция имеет единственную стационарную точку М(0,3).

Теперь вычислим значения частных производных второго порядка в точке М:

и составим дискриминант =АС-В²=22-1=3>0. Так как при этом А=2>0, то в точке М(0,3) наша функция имеет минимум. Значение функции в этой точке z_min=-9.

Задача 19. Показать, что функция z=f(x,y)

удовлетворяет соотношению