5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через точку М.
Нормалью к поверхности в точке М называется прямая линия, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности в этой точке.
Если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0 и в точке М(х0,ó0,z0) все частные производные первого порядка функции F конечны и не равны нулю одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М имеет вид
,
а уравнение касательной -
.
Если поверхность задана в явном виде z=f(x,y), то ее можно рассматривать как заданную в неявном виде F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, поэтому уравнения касательной плос-кости и нормали к такой поверхности соответственно записываются так
.
Равенство
нулю, например,
,
означает, что каса-тельная плоскость
параллельна оси ОХ, а нормаль лежит в
плоскости х=х0.
Пример 1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z=x2-2xy+y2x+2y=0 в точке М(1,1,1).
Решение. Найдем частные производные первого порядка
и
вычислим их значения в точке М:
.
Уравнение касательной плоскости:
z-1=-(x-1)+2(y-1)=0, èëè x-2y+z=0.
Уравнение нормали:
.
Пример 2. К поверхности x2+2y2+3z2=11 провести каса-тельные плоскости, параллельные плоскости x+y+z=1.
Решение. Здесь F(x,y,z)=x2+2y2+3z2-11. Найдем частные производные первого порядка
.
Из условия параллельности касательной плоскости данной плоскости нормальные векторы этих плоскостей должны быть параллельны. То есть мы можем считать, что
(F/x)=1, (F/y)=1, (F/z)=1,
или (2х)/1=(4y)/1=(6z)/1. Таким образом, координаты точки касания должны одновременно удовлетворять уравнению поверхности и последним уравнениям. Решая совместно эти уравнения, найдем координаты точек касания
è
.
Следовательно, уравнения касательных плоскостей имеют вид:
1(õ
)+1(õ
/2)+1(õ
/3)=0,
èëè x+y+z+11/ =0 è x+y+z-11/ =0.
Задача 18. Дана функция z=f(x,y), точка А(х0,ó0) и вектор l(àõ,àó). Найти:
1. Градиент функции z=f(x,y) в точке А
2. Производную функции z=f(x,y) в точке А по направ-
лению вектора l.
N |
функция |
A |
l |
N |
функция |
A |
l |
1 |
z=x2+2xy+y2 |
(1;2) |
(3;4) |
6 |
z=ln(x+1/y) |
(1;1) |
(2;4) |
2 |
z=2xy-y3+x |
(-1;2) |
(-3;4) |
7 |
z=ln(ex+ey) |
(1;0) |
(1;1) |
3 |
z=ln(x2-y3) |
(2;1) |
(3;-4) |
8 |
z=x2+3xy2 |
(-1;3) |
(1;2) |
4 |
z=ln(xy2+1) |
(1;1) |
(-3;-4) |
9 |
z=xey |
(2;0) |
(5;12) |
5 |
z=arctg(x2y) |
(-2;1) |
(6;8) |
10 |
z=x2+y2-2xy2 |
(3;1) |
(-1;1) |