4. Производные высших порядков.

Производной второго порядка от функции y=f(x) называется производная от ее производной у''=(y')'. С помощью знака дифференциала производная второго порядка записывается так

.

Если s(t) - закон прямолинейного движения точки, то производная второго порядка от функции s(t) есть ускорение этого движения.

Аналогично, производная третьего порядка функции y=f(x) есть производная от второй производной у'''=(y'')'. И вообще, производная порядка n функции y=f(x) есть производная от ее производной (n-1)-го порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))'.

Обозначается производная порядка n так: y⁽ⁿ⁾, èëè , èëè f⁽ⁿ⁾(x).

Производные высших порядков вычисляются после-довательным дифференцированием данной функции.

Если функция задана параметрически х=x(t), y=y(y), то производные y'_x, y''_xx,... вычисляются так:

Производная второго порядка может быть также вычислена по формуле:

.

Пример 1. y=x⁴+2x³-x+11. Вычислить производные всех порядков.

Решение. y'=4x³+6x²-1, y''=12x²+12x, y'''=24x+12, y⁽⁴⁾=24, y⁽⁵⁾=y⁽⁶⁾=...=0.

Пример 2. Найти у' и y'', если x(t)=acos³(t),

y(t)=asin³(t).

Решение.

Задача 13. Найти производные второго порядка

функции.

N	Функции	N	Функции	N	Функции
1	y= ;	5	y= ;	9	y= ;
2	y= ;	6	y= ;	10	y= ;
3	y= ;	7	y= ;	11
4	y=(1+x2)arctgх;	8	y= ;	12	y= ;

5. Дифференциал.

Пусть бесконечно малая  представлена в виде суммы двух бесконечно малых =+. Бесконечно малая  называется главной частью бесконечно малой , если бесконечно малая  имеет более высокий порядок малости по сравнению с : =о() (то есть  стремится к нулю быстрее, чем ).

Непрерывность функции y=f(x) эквивалентна тому, что ее приращение у является величиной бесконечно малой при х0. Дифференциалом функции y=f(x) называется главная часть ее приращения у, пропорциональная приращению независимой переменной х. Дифференциал функции обозначается через dy. По определению дифференциала у=dy+o(dy) и x=dx.

Справедлива следующая теорема о дифференциале: если функция y=f(x) имеет производную, то она имеет и диффе-ренциал и при этом

dy=y'dx

(Именно по этой причине функции, имеющие производные, называют дифференцируемыми функциями, а операцию вычисления производной - операцией дифференцирования).

Основные свойства дифференциала определяются соот-ветствующими свойствами производной:

1. d(C)=0, ãäå C=const.

2. d(Cu)=Cd(u).

3. d(uv)=d(u)d(v).

4. d(uv)=udv+vdu.

5.

6. df(u)=f'(u)du.

Если приращение аргумента x мало по абсолютной величине, то приращение функции у мало отличается от своей главной части - дифференциала функции уdy. Тогда f(x+x)-f(x)=ydy, откуда

f(x+x)f(x)+dy=f(x)+f'(x)x,

что позволяет приближенно вычислить значение функции в точке x+x по известному ее значению в точке х и приращению аргумента x.

Пример. Вычислить приближенное значение

arcsin(0,51).

Решение. Обозначим х=0,5 и x=0,01. Тогда

arcsin(0,51)=arcsin(x+x)arcsinx+(arcsinx)'x=

=

Задача 14. С помощью дифференциала приближенно вы-числить значение функции в точке.

N	Функция	N	Функция
1	y= ; x=4,16	6	y= ; x=1,98
2	y= ; x=1,02	7	y= ; x=2,76
3	ó= ; x=7,12	8	y= ; x=0,17
4	y= ; x=0,017	9	y= ; x=5,014
5	y= ; x=0,97	10	y= ; x=3,012