7. Возрастание, убывание и экстремум функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале [a,b], если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции: x₁>x₂  f(x₁)>f(x₂)_. Соответственно, функция y=f(x) называется убывающей на интервале [a,b], если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: x₁>x₂  f(x₁)<f(x₂)_.

Признаки возрастания и убывания функции.

1. Если в каждой точке интервала первая производная функции положительна f'(x)>0, то функция возрастает на этом интервале.

2. Если в каждой точке интервала первая производная функции отрицательна f'(x)<0, то функция убывает на этом интервале.

Точка х₀ называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше ее значений в каждой точке из некоторой окрестности точки х₀. Соответственно, точка х₀ называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше ее значений в каждой точке из некоторой окрестности точки х₀. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Заметим, что в точках экстремума касательная к графику функции обязана быть параллельной оси ОХ, то есть в точках экстремума функции ее первая производная необходимо обращается в ноль. Как показывают простые примеры (например, у=х³, õ₀=0), обратное утверждение не имеет места: равенство нулю производной в некоторой точке еще не гарантирует наличия экстремума функции в этой точке. Заметим также, что левее точки своего максимума функции обязана возрастать, а правее - убывать. Значит, при переходе через точку максимума функции ее первая производная изменяет свой знак со знака плюс на знак минус. Аналогично, при переходе через точку минимума функции ее первая производная изменяет свой знак со знака минус на знак плюс. Оказывается, что эти условия также являются достаточными для наличия экстремума функции в точке.

Точки, в которых первая производная функции обращается в ноль, либо не существует, называются критическими точками функции, а точки, в которых первая производная обращается в ноль - ее стационарными точками.

Достаточные условия экстремума.

Правило 1. Если х₀ - критическая точка функции и при переходе через эту точку ее первая производная изменяет свой знак, то х₀ - точка экстремума функции. При этом, если левее точки х₀ первая производная положительна, а правее - отрицательна, - то х₀ - точка максимума, в противном случае - точка минимума.

Правило 2. Если х₀ - стационарная точка функции и в этой точке ее вторая производная отлична от нуля, то х₀ - точка экстремума. При этом, если f''(x₀)>0, òî õ₀ - точка максимума, если же f''(x₀)<0, òî õ₀ - точка минимума.

Как отмечалось, дифференцируемая на замкнутом интервале функция достигает на этом интервале своего наибольшего и своего наименьшего значений. Точки, в которых эти значения достигаются, могут быть либо крайними точками интервала, либо его внутренними точками. В последнем случае они являются точками экстремума функции. Таким образом, для вычисления наибольшего (наименьшего) значения дифференцируемой функции на замкнутом интервале необходимо найти все точки максимума (минимума) функции на этом интервале и выбрать наибольшее (наименьшее) из значений функции в этих точках и крайних точках интервала.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

ó=(x-5)e^x.

Решение. Найдем первую производную у'=(x-4)e^x и, приравнивая ее нулю у'=(x-4)e^x=0, найдем стационарную точку х=4. Ясно, что если x<4, то у'>0 и если x>4, то y'<0. То есть, х=4 - точка минимума и y_min=y(4)=-e⁴.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

ó=õ .

Решение. Функция определена лишь при -1x1. Найдем первую производную

y'= .

Эта производная обращается в нуль в двух точках х₁=-1/ è õ₂=1/ и не определена в точках х=1 (крайних точках области определения функции). Значит, функция может достигать экстремума только в одной из этих четырех точек. Точки экстремума по определению являются внутренними точками, поэтому исследовать функцию на экстремум нужно лишь в ее стационарных точках х₁ è õ₂. Найдем вторую производную

y''= x(2x²-3)/(1-x²)^3/2

^{и вычислим ее значения в стационарных точках}

y''(x₂)=

y''(x₂)=

В соответствием с правилом 1 в точке х₁ функция имеет минимум y_min=-1/2, а в точке х₂ - максимум y_max=1/2.

Пример 3. Найти такой цилиндр, который имел бы наи-больший объем при заданной полной поверхности S.

Решение. Обозначим радиус основания цилиндра через х, а его высоту - через у. Тогда S=2x²+2xy, òî åñòü

.

Следовательно, объем цилиндра выразится так:

V=V(x)= .

Задача свелась к исследованию на максимум функции V(x) при x>0. Найдем ее первую производную

и, приравняв ее нулю, найдем единственную стационарную точку функции х= . Далее найдем вторую производную V''=-6x и так как при х= выполняется неравенство V''<0, то х= - точка максимума функции V. Следовательно, среди всех цилиндров с задан-ной полной поверхностью S наибольший объем

V=

имеет цилиндр с радиусом основания х= . При этом

,

то есть осевое сечение такого цилиндра должно быть квадратом.

Задача 15.

N
1	Открытый бак с квадратным основанием должен иметь объем V. При каких размерах на его изго-товление уйдет наименьшее количество материала?
2	Сторона треугольника равна а, а противолежащий ей угол - a. Определить два других угла так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.
3	Периметр треугольника равен Р, а одна из его сторон - а. Требуется так определить две другие стороны, чтобы площадь треугольника была наи-большей.
4	Определить максимальную площадь равнобедрен-ного треугольника, боковая сторона которого равна а.
5	Площадь боковой поверхности правильной четы-рехугольной пирамиды равна а2. Найти наибольший объем такой пирамиды.
6	Найти размеры прямого кругового конуса наи-большего объема, если длина его образующей равна l.
7	В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема.
8	Около шара радиуса R описать конус наибольшего объема.
9	Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей боковой поверхности, описанного около шара радиуса R.
10	Периметр равнобедренного треугольника равен 2Р Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?