Общие понятия

В практике инженерного проектирования и строительства часто возникает необходимость моделировать поверхность плоской фигурой, которая может быть названа «выкройкой» поверхности или разверткой. Разверткой поверхности называется плоская фигура, в которую преобразуется поверхность при ее совмещении с плоскостью. При этом поверхность представляется в виде гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки.

Построение разверток поверхностей является технической задачей, имеющей большое значение при изготовлении различных деталей и конструкций из листового материала, например: воздуховодов для промышленной вентиляции, водосточных труб, кожухов, цистерн, различных отводов.

Для обеспечения необходимой точности изготовления и экономичного расходования материала изделие конструируют таким образом, чтобы каждая часть изделия была развертывающейся поверхностью.

Развертывающейся поверхностью называется поверхность, которая всеми своими точками может быть совмещена с плоскостью, т.е. деформирована в плоскость без складок и разрывов. Каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, т.е. поверхность и ее развертку можно рассматривать как две геометрические фигуры, между точками которых существует взаимнооднозначное соответствие, обладающие свойствами:

1. Длины отрезков линий, расположенных на поверхности и на ее развертке, равны между собой.

2. Углы между соответствующими линиями поверхности и развертки равны между собой.

Однако, угол между двумя образующими на конической поверхности меньше угла между соответствующими им прямыми на развертке, так как вершина конуса является особой точкой, и она не обладает свойствами, которые характерны обыкновенным точкам.

3. Площади фигур, ограниченные соответствующими замкнутыми линиями на поверхности и развертке равны между собой. Следует помнить, что все размеры на развертке имеют натуральную величину.

Рассмотрим поверхность θ₀ и ее развертку θ (рис. 12.1). Длина дуги АВ равна длине дуги А₀В₀, угол α равен углу α₀, и площадь F равна площади F₀. Заметим, что углом между двумя кривыми называется угол между их касательными. Прямой линии на поверхности (образующей) всегда соответствует прямая на развертке, параллельные прямые на поверхности переходят на развертке в параллельные.

Рис. 12.1

Линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности называется геодезической. На развертке этой линии соответствует прямая. Например, дуга M₀N₀ является кратчайшей из всех дуг на поверхности, проведенных между точками M₀N₀, тaк как на развертке этой линии соответствует прямая MN.

Развертывающиеся и неразвертывающиеся поверхности

К развертывающимся поверхностям относятся все многогранные поверхности. Разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех ее граней, поэтому построение развертки многогранной поверхности сводится к построению истинных размеров и формы отдельных граней, которые затем совмещают с плоскостью без изменения формы и размеров.

Из кривых поверхностей, к развертывающимся относятся линейчатые поверхности, которые образованы взаимно-параллельными или пересекающимся образующими. К таким поверхностям относятся торсы и их частные виды – конические и цилиндрические поверхности. Остальные линейчатые и нелинейчатые поверхности относятся к неразвертывающимся поверхностям.

Развертки развертывающихся и неразвертывающихся поверхностей, которые, как правило, строятся графически, являются приближенными. При построении этих разверток заданную поверхность заменяют (аппроксимируют) другой поверхностью, которую вписывают или описывают около нее. Аппроксимирующими поверхностями выбирают развертывающиеся поверхности. Линейчатые поверхности заменяют многогранными, например, цилиндр – вписанной в него призмой, конус –вписанной в него пирамидой, а торс – вписанной в него многранной поверхностью (гранный торс). Поверхности с криволинейными образующими предварительно заменяют цилиндрическими и коническими поверхностями вращения, которые затем заменяют многогранными. Количество граней в аппроксимирующей поверхности должно быть достаточным для обеспечения необходимой точности построения развертки.