4. Модель Тобина

Для дальнейшего упрощения задачи выбора были введены новые допущения. В частности, Тобин Дж. предположил возможность инвестиций в безрисковый актив. Введение безрискового актива существенно меняет конфигурацию допустимого и эффективного множества инвестиционных портфелей

Свойства рынка капитала, принятые в теории инвестиционного портфеля с наличием безрискового актива, частично повторяют предпосылки модели Г. Марковица.

1. Все инвесторы, хотя бы в неявной форме, при осуществлении выбора своих капиталовложений ориентируются на теорию инвестиционного портфеля. Каждый индивидуум исходит в своих решениях только из прогнозов:

- ожидаемой доходности;

- дисперсий доходности;

- корреляции между доходностями из различных источников.

2. Отсутствуют какие-либо трансакционные издержки и налоговые обязательства, связанные с инвестициями.

3. На рынке существует консенсус относительно перспективы каждой продаваемой и покупаемой ценной бумаги

4. Существуют активы, полностью лишенные риска.

Предположим, что инвестор, обладающий только безрисковыми ценными бумагами, рассматривает вложение части своих средств в приобретение портфеля В, состоящего из набора рисковых ценных бумаг. Если он вложит в портфель В 10% своего капитала, то он сможет ожидать среднюю доходность, равную:

.

Риск, связанный с получением такой доходности будет равен, исходя из формулы суммы дисперсий с учетом весов ценных бумаг, нулевых дисперсии безрисковой ценной бумаги и ковариации безрисковой ценной бумаги с рисковым портфелем:

или

или

Если инвестор 50% своего капитала в рисковый портфель, то доходность и риски станут:

Дополнительная доходность на единицу риска может быть найдена путем деления изменения доходности на изменение общего риска.

В первом случае такой расчет дает:

Аналогичный результат получается и для второго случая (50%).

Итак, мы приобретаем дополнительный доход за счет получения дополнительного риска.

Таким образом, общая доходность безрисковой ценной бумаги и портфеля рисковых ценных бумаг может быть представлена следующим образом:

или

Эта прямая линия называется линией рынка капитала.

Выражение можно рассматривать как рыночную цену риска. Или иначе, можно сказать, что необходимый доход от любой комбинации безрисковой ценной бумаги и портфеля рисковых ценных бумаг может быть определен как:

,

где

- рыночная цена риска.

Рис. 12. Связь доходности и риска портфеля в модели Тобина

Приведем более формальное изложение проблемы. Предположим, что эффективное множество состоит только из рискованных ценных бумаг .

Также на рынке существует безрисковый актив .

В силу вогнутости множества существует не более одной касательной к множеству , проходящей через точку .

Рассмотрим случай существования касательной. Обозначим ее через , а точку касания – через .

Теорема 1. Луч является допустимым и эффективным множеством портфелей, состоящих из бумаг .

Доказательство.

Исследуем множество допустимых портфелей. Пусть

,

,

при .

Через обозначим портфель, состоящий только из рискованных ценных бумаг , доли которых такие же, как и в портфеле . В этом случае . Легко подсчитать, что

Тогда

Ожидаемые доходность и риск портфеля равны:

(1)

Так как , то полученные параметрические уравнения (1) для и задают луч на плоскости . Следовательно, портфель находится на луче .

Портфель , состоящий из бумаг , является допустимым тогда и только тогда, когда существует допустимый портфель (то есть портфель с доходностью и риском ) такой, что .

Дело в том, что приобретение безрисковой бумаги допустимо по первоначальному допущению, а ввиду выпуклости допустимого множества точки, лежащие на отрезке, проходящем через допустимые точки множества, также допустимы. Если предположить возможность не только покупки, но и выпуска безрисковых ценных бумаг, то допустимы все точки на луче, проходящем через две допустимые точки.

Другими словами, точка , является допустимой, если допустимы точки и .

Значит, портфели, лежащие на луче , являются допустимыми, так как - допустимый портфель, состоящий только из рискованных ценных бумаг.

Теперь покажем, что любой портфель, лежащий на луче , является и эффективным.

Предположим, что допустимый портфель , лежащий на луче , не является эффективным. Тогда существует другой портфель такой, что и . Из этого следует, что находится левее и выше луча . По доказанному существует портфель , состоящий только из рискованных ценных бумаг, такой, что . Таким образом, получается, что луч находится левее и выше луча . Но в этом случае луч не может пересекать множество допустимых портфелей, так как портфель является по условию касательным портфелем.

Теорема 2. (теорема разделения). Предполагается, что инвесторы одинаково оценивают риски и ожидаемые доходности ценных бумаг. Тогда оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его предпочтений относительно риска и дохода.

Доказательство.

По теореме 1 все инвесторы сформируют портфель . Этот портфель является допустимым и эффективным.

У различных инвесторов могут быть различные доли безрисковых бумаг . Но структура портфеля рискованных ценных бумаг у всех инвесторов должна быть одинаковой, так как касательный портфель для всех один (портфель ).

Теорема 3. Предположим, что существует точка касания индивидуальной кривой безразличия некоего инвестора и эффективного множества портфелей. Тогда оптимальный портфель для выбранного инвестора находится в точке .

Следует ли из этого, что все инвесторы сформируют один и тот же портфель? Нет, не следует. Чем больше инвестор не расположен к риску, тем ниже на луче будет расположен его оптимальный портфель (то есть, тем больше средств он потратит на безрисковую часть своего портфеля).

Таким образом, мы нашли геометрический способ нахождения оптимального портфеля. Строится множество допустимых портфелей, затем выделяется множество эффективных. Затем из точки безрискового портфеля проводится касательная к эффективной кривой. На этом луче и располагаются оптимальные портфели разных инвесторов. Их различное отношение к риску проявляется в том, что они располагаются ближе или дальше от точки безрискового актива.

Приведем аналитический подход к решению задачи.

Пусть - это доля ценной бумаги в произвольном портфеле ,

Тогда цель инвестора – выбрать доли так, чтобы значение функции на получившемся портфеле было наибольшим:

При

,

.

Условие означает, что ценные бумаги запрещено брать взаймы и давать в долг. Если на рынке существует безрисковая бумага , которую можно не только покупать, но и выпускать, то данное условие для соответствующей доли должно быть опущено.