B. Анализ функции полезности инвесторов

У инвесторов могут быть различные предпочтения относительно доходности и риска.

Инвестор может избегать риска. Тогда увеличение риска будет требовать все увеличивающейся доходности.

Инвестор может интересоваться только определенным уровнем риска, который принимает при любом уровне доходности. Тогда увеличение риска не будет требовать увеличения доходности.

Инвестор может интересоваться только определенным уровнем доходности, который принимает при любом уровне риска. Тогда увеличение доходности не будет сопровождаться обязательным увеличением риска.

И инвестор может в той или иной степени избегать риска.

Представим функцию полезности для инвестора, который, скорее будет избегать азартной игры, во всяком случае, будет ждать платы за самое участие в игре.

Предположим, что в игре заключена вероятность выигрыша 1 млн. рублей и проигрыша той же суммы с вероятностями соответственно 0.5; 0.5. Тем не менее, субъективная оценка вероятного выигрыша и потери у нашего игрока различна. Вред от потери 1 млн. рублей игрок оценивает выше столь же вероятного выигрыша 1 млн. рублей. И хотя математическое ожидание данной игры равно 0, наш игрок согласится на игру лишь с учетом выплаты известной премии. Ее величина определяется точкой Е, которая делит пополам отрезок между полезностью выигрыша 1 млн. рублей и вредом от проигрыша.

Рис 1. Поведение инвестора не склонного к риску

Теперь покажем функцию полезности для инвестора, который, скорее всего, будет участвовать в азартной игре. Теперь наш игрок является оптимистом и оценивает вероятный выигрыш выше столь же вероятной потери. Он готов даже заплатить за участие в такой игре сумму, определяемую точкой F.¹⁰ Величина платы так же определяется точкой, делящей пополам отрезок от точки полезности выигрыша до точки вреда проигрыша.

Рис 2. Поведение азартного инвестора

В теории инвестиционного портфеля предполагается, что игрок избегает риска, во всяком случае, ожидает за дополнительный риск дополнительный доход.

Если выражаться точнее, то в теории инвестиционного портфеля принимают разумные допущения относительно предпочтений между риском и доходностью ценной бумаги:

1. Предполагается, что при прочих равных условиях инвесторы предпочитают большую доходность меньшей.

2. Инвесторы предпочитают меньший риск большему, т. е. предполагается, что инвесторы избегают риска.

Отсюда правило:

Инвестор будет максимизировать свой ожидаемый доход при данной степени риска или минимизировать свой риск при данном уровне дохода.

В геометрической трактовке модели Марковица используются так называемые кривые безразличия. Кривые безразличия показывают зависимость доходности и риска при постоянных уровнях полезности и строятся из функции полезности, связывающей полезность с доходностью и риском.

В теории инвестиционного портфеля обычно предполагается, что предпочтения инвесторов описываются квадратной функцией полезности.¹¹

, где

- ожидаемая полезность портфеля;

- ожидаемая доходность портфеля;

- дисперсия (волатильность) доходности портфеля.

Такая функция соответствует нашим допущениям относительно поведения инвесторов. Рост ожидаемой доходности ведет к росту полезности. Рост риска, наоборот, уменьшает полезность. Два отрицательных члена в правой части уравнения обеспечивают постепенное замедление роста полезности по мере увеличения доходности.

При графическом представлении часто связывают доходность в процентах и среднеквадратическое отклонение. Дело в том, что размерность дисперсии (волатильности) – это квадрат процентов. Среднеквадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии – дает размерность сопоставимую с доходностью. Впрочем, графическое представление при этой замене меняется не существенно.

Квадратная форма функции полезности для инвестора, избегающего некомпенсируемого риска, дает кривую безразличия близкую к следующей

Рис. 3. Кривые безразличия