B. Элементы теории вероятности

Начнем с начальных определений.

Определение вероятности исходит из существования полной группы элементарных равновероятных событий, которые служат определению более сложных событий.

Классические примеры - выемка шаров из урны или игральных карт из колоды с возвращением, бросание правильных костей.

Теория вероятности имеет различное обоснование – теоретико-множественное, статистическое, аксиоматическое.

Мы введем понятие вероятности и основные правила – правило сложения и умножения вероятностей – в качестве аксиом. В наивной теории множеств (она была исторически первоначальной) эти правила легко обосновываются логически.

1. Существует множество элементарных событий , на котором могут быть образованы различные подмножества , и т.д., которые можно считать случайными событиями.

2. Множество событий является полем, на котором возможны элементарные действия с подмножествами (сложение, умножение, дополнение), не выводящими за пределы поля событий. Событие определяется как достоверное событие, а событие - как невозможное событие.

3. Каждому случайному событию, например, событию , ставится в соответствие некоторое неотрицательное число, называемое вероятностью события .

4. ;

5. Правило сложения вероятностей для несовместимых событий и

Из этого правила легко выводится правило сложения вероятностей для произвольных событий

Определение условной вероятности.

Если событию благоприятствует только часть элементарных событий, благоприятствующих событию , то условная вероятность события при условии осуществления события , а именно определяется следующим образом:

, где

- условная вероятность события при условии осуществления события

- вероятность произведения (одновременного осуществления) событий и .

Определение независимого события.

Если событие не зависит от события , то .

Из определения условной вероятности следует правило умножения вероятностей. Для несовместимых событий

Определение случайной величины

Введем понятие дискретной случайной величины. Случайная величина принимает значения с вероятностью соответственно и , как того требует аксиоматика теории вероятностей.

Определение математического ожидания

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений ( ) на их вероятности ( ):

.

Важно отметить свойства математического ожидания:

Из определения математического ожидания дискретной случайной величины непосредственно следует, что:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий (теорема сложения математических ожиданий):

.

Заметим, что удобство математического ожидания объясняется его следующими свойствами:

1. Математическим ожиданием выборочного значения признака служит как раз среднее арифметическое значение признака в генеральной совокупности (генеральное среднее значение):

2. Математическое ожидание от разницы между случайной величиной и её математическим ожиданием равно 0, то есть . Другими словами, сумма уклонений в положительную сторону равна сумме уклонений в отрицательную сторону

3. Сумма квадратов уклонений (дисперсия) от средней величины меньше, чем сумма квадратов уклонений от всякой другой величины (см. далее свойства дисперсии).

Определение дисперсии

Наряду с характеристиками положения (математическое ожидание показывает центр распределения) большую роль играют характеристики рассеяния.

Рассеяние случайной величины связано с отклонением этой величины от ее центра распределения .

Непосредственное осреднение этого отклонения не может дать числовой характеристики рассеяния, так как

Определения:

Основной характеристикой рассеяния случайной величины служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение , определяемое по формуле:

где .

Метод вычисления дисперсии для дискретных случайных величин:

Свойства дисперсии:

,

где (с) - любое число.

Доказательство:

Формула вытекает из линейности математического ожидания:

так как

,

Тогда:

Из последней формулы вытекает, что:

Средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения меньше, чем средний квадрат ее отклонения от любого другого числа (с):

В частном случае при с = 0 получаем удобную формулу для вычисления дисперсии :

Теорема:

При линейном преобразовании случайной величины , то есть для линейной функции дисперсия увеличивается в раз, а среднее квадратическое отклонение - в раз.

Например:

Доказательство:

В силу линейности математического ожидания имеем

Поэтому:

Теорема сложения дисперсий

Если случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

и следовательно:

Доказательство:

Обозначим

В силу линейности математического ожидания имеем:

Поэтому

Итак, дисперсия суммы произвольных случайных величин:

Выражение называют корреляционным моментом. Дело в том, что для независимых случайных величин и (а значит, являются и независимыми смещенные случайные величины и ) по теореме умножения математических ожиданий и очевидному свойству математического ожидания отклонения случайной величины от своего математического ожидания мы имеем

Следовательно, для независимых случайных величин

Следствия из свойств дисперсии.

1. Дисперсия линейной комбинации попарно независимых случайных величин может быть вычислена по формуле:

2. Если все имеют одинаковую дисперсию, то дисперсия их среднего арифметического равна:

Последняя формула играет большую роль при обработке результатов измерений.

Заменим третий элемент в формуле дисперсии суммы случайных величин, учитывая что , и дисперсию суммы двух случайных величин представим следующим образом:

Итак:

где

- корреляция между случайными величинами и

- квадратические отклонения случайных величин и

Как мы видим, уже дисперсия суммы двух величин несет на себе результат их взаимовлияния. Положительная корреляция увеличивает дисперсию суммы, отрицательная уменьшает. Однако приведенная формула не учитывает различия в структуре «портфеля случайных величин».

Как будет показано в дальнейшем, если портфель состоит из двух ценных бумаг ( и ), а весами являются их доли ( и ) в портфеле, тогда (в формулах финансовой математики дисперсия чаще обозначается через , а корреляционный момент называется ковариацией и обозначается ):

Корреляционный момент и коэффициент корреляции

Определение:

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Напомним, что приведенное выражение является элементом формулы дисперсии суммы двух случайных величин:

Замечание:

Корреляционный момент может быть представлен в виде:

Доказательство:

Теорема:

Корреляционный момент двух независимых случайных величин и равен 0

Доказательство:

Согласно замечанию:

Но для независимых случайных величин

Тогда для независимых случайных величин и :

Определение:

Безразмерная величина называется коэффициентом корреляции.

Теорема:

Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин не превосходит произведения их средних квадратических отклонений:

Доказательство:

Введем в рассмотрение случайную величину и найдем ее дисперсию:

Или

, так как любая дисперсия неотрицательная

Отсюда

.

Аналогично введем случайную величину и найдем, что:

.

Или

.

Определение:

Случайные величины и называются некоррелированными, если , и коррелированными, если .

Теорема:

Коэффициент корреляции случайных величин, связанных линейной зависимостью, равен .

Доказательство:

Пусть

;

Найдем коэффициент корреляции:

Откуда

и

Отметим некоторые свойства коэффициента корреляции.

1. Из примера 1 следует, что если - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0.

Заметим, что обратное утверждение неверно.⁴⁰

2. Абсолютная величина коэффициента корреляции в общем случае не превосходит единицы:

Доказательство следует из доказанной ранее формулы для корреляционного момента:

Разделим обе части неравенства на произведение и получим

3. Коэффициент корреляции характеризует относительную (в долях ) величину отклонения математического ожидания произведения от произведения математических ожиданий величин . Так как такое отклонение имеет место только для зависимых величин, то можно сказать, что коэффициент корреляции характеризует тесноту зависимости между и .

Это утверждение следует из доказанного ранее равенства: . Приведем корреляционный момент к коэффициенту корреляции:

.

1 Куликов А. А. Форекс для начинающих. Справочник биржевого спекулянта – СПб.: Питер, 2007; Коммерсантъ № 62 от 13.04.2007 – Мировая торговля замедлится.

2 Bachelier L. Theorie de la speculation. //Annales de l'Ecole Normale Superieure. 1900. V. 17. P. 21-86. Описание идей Л. Бушелье, их судьба и их современная критика содержатся в книгах: Мандельброт Б. Непослушные рынке, фрактальная революция в финансах – пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006; Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков – пер. с франц. – М.: Издательство «И-трейд», 2008.

3 Cootner Paul H. The Random Character of Stock Market Prices – Cambridge, MA, MIT Press

4 Harry M. Markowitz, Portfolio Selection, Journal of Finance, 7, no 1 (March 1952), pp, 79-81.

5 В представленном разделе используются материалы следующих книг: Шарп У. Ф.., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997; Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1996; Ширяев В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – Учебное пособие – М.: КомКнига, 2007; Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007; Коростелева М. В. Методы анализа рынка капитала – СПб.: Питер, 2003.

6 Тобин Дж. обратил внимание на недостаточность показателей математических ожиданий и дисперсии для сравнения портфелей (См. Ширяев В. И. Модели финансовых рынков… - стр. 18-19). Тем не менее, их применение оправдано своей конструктивностью.

7 См. Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 238-241 или Ширяев В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – Учебное пособие – М.: КомКнига, 2007, стр. 17.

8 См. Бромвич М. Анализ экономической эффективности капиталовложений – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1996, стр. 343. Обсуждение альтернативных мер риска, например, приведение к нормальному типу так называемого логнормального распределения можно найти в книге: Шарп У. Ф.., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997, стр. 179-181.

9 См. Бромвич М. Ук. Соч. стр. 342.

10 Считают, что первым шагом в создании теории полезности было формулирование так называемого Санкт-Петербургского парадокса. Любопытно, что сформулировал этот парадокс Николай Бернулли, а объяснение дал ему Даниил Бернулли - См.: Бернулли Д. Опыт новой теории измерения жребия / Д. Бернулли; пер. А. Нардовой // Вехи экономической мысли / сост. и общ. ред. В. М. Гальперина. Спб., 1993. Т. 1 : Теория потребительского поведения и спроса. С. 11-27.

Полезные материалы по теории полезности можно найти в книгах, посвященных теории игр, в частности: Льюс Р.Д., Райфа Х. Игры и решения - Пер. с англ. - М.: Изд-во иностр. лит., 1961; Нейман фон Джон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение - Пер. с англ. - М.: Наука, 1970.

11 См. Приложение к модели Г. Марковица

12 См. в книге Ширяева В. И. Модели финансовых рынков. Оптимальные портфели, управление финансами и рисками – М.: КомКнига, 2007, стр. 25-26.

13 Аналитическую формулировку модели Марковица можно найти в книгах: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 21-22; Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 288.

14 Нами использованна формулировка, предложенная в книге: Аскинадзи В. М. и др. Инвестиционное дело – Учебник - М.: Маркет ДС, 2007, стр. 256-257.

15 См. в книге: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 16-18 (раздел «Модель Марковица»).

16 См.:Шарп У. Ук. соч. стр. 213-218, 226-228, стр. 271 – о связи и отличиях рыночной модели и модели САРМ; также Аскинадзи В. М. и др. Ук. соч., стр. 278-294; Ширяев В. В. Ук. соч., стр. 47-58

17 См.: Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции –пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1997, стр 316-337.

18 См.: Оценка бизнеса – под ред. Грязновой А.Г., Федотовой М.А. – М.: Финансы и статистика, 2007, стр. 199

19 См: Шаповал А. Б. Инвестиции: математические методы – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, глава 3.

20 См. Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. Непослушные рынки: фрактальная революция в финансах – пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2006, 187 стр.

21 См. там же, стр. 34-39.

22 См.: Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков – пер. с франц. – М.: Издательство «И-трейд», 2008, стр. 19-22.

23 Это раздел основан, главным образом, на материалах книги: Экономическая теория (New Palgraiv) – пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2004, стр. 263-273 – глава Гипотеза эффективного рынка, автор - Бертон Мэлкил (Berton G, Malkiel). Ссылки на авторов различных исследований также сделаны по материалам этой статьи. См. также: Бертон Мэлкил «Случайная прогулка по Уолл-Стрит – пер. с англ. - Минск: Попурри, 2006. Последняя книга издается уже 30 лет. Любопытно, что в конце 90-х годов вышла иная книга: Эндрю Лоу. Неслучайная прогулка по Уолл-Стрит. Б. Мелкил является, в целом, сторонником гипотезы эффективного рынка, а Эндрю Лоу – наоборот.

24 См.: Чеботарев Ю.Н. Случайность и Неслучайность биржевых цен – М.: СмартБук; И-трейд, 2008, 198.

25 Инвариантность - неизменность какой-либо величины при изменении физических условий или по отношению к некоторым преобразованиям, например, преобразованиям координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (релятивистская инвариантность). Практически строгое описание «случайного блуждания» в наиболее простой версии «винеровского процесса» можно найти в книге: Шаповал А.Б. Инвестиции: математические методы – Учебное пособие – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007, стр. 42-43.

Случайный процесс называется винеровским, если выполнены следующие условия:

1. Процесс начинается с нуля, то есть ;

2. Случайная величина имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и с дисперсией равной для любого момента времени ;

3. Для произвольных непересекающихся интервалов и случайные величины и независимы.

Вообще, пособие Шаповала А.Б. мы рекомендуем для ознакомления с математическими моделями портфельного анализа, оценки опционов. Изложение достаточно строгое для практики и краткое (96 стр.), но вводит в современную теорию финансов. В главе о портфельном анализе мы в значительной мере используем

26 См. материал из Википедии:

Последовательность случайных величин называется мартингалов с дискретным временем, если:

, ;

,

Пусть дана другая последовательность случайных величин . Тогда последовательность случайных величин называется мартингалом относительно или -мартингалом, если:

,

, .

Пусть дана последовательность случайных величин . Тогда последовательность случайных величин называется суб(супер) мартингалом относительно , если:

,

, .

27 ^{Этот эффект можно объяснить налоговым влиянием. В конце года инвесторы сбрасывают акции, в первую очередь, мелких фирм для имитации убыточности и облегчения налоговых платежей, цены акций падают, а в январе они могут вернуться даже с излишком вверх – См.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 316-317.}

28 Эффект уик-энда, эффект понедельника не имеет однозначного объяснения. Эффект говорит о том, что цены акций в понедельник ниже, чем вечером в пятницу. В книге «Случайная прогулка по Уолл-Стрит» Бертон Мэлкил уточняет эффект: цены акций утром в понедельник немного выше, чем вечером в пятницу, а к вечеру понедельника они понижаются, так что доходность становится относительно отрицательной. Поэтому следует покупать акции в понедельник вечером. Но проверка эффекта, проведенная автором по материалам Нью-Йоркской фондовой биржи с мая по июль 2002 года показала, что эффект проявился лишь в восьми уик-эндах из тринадцати.

Можно рекомендовать также материал:Б. Френкель, Д. Альберг. Симуляционный подход к объяснению эффекта конца недели на адресе:ttp://www.tsi.lv/journal_T&T/Transport&Telecommunication/v52_ru/4_rus.pdf

29 Стратегию «купил и держи» реализуют так называемые «индексные фонды», которые держат структуру своих вложений в соответствии с популярными биржевыми индексами. По данным информационного портала «Вложи.ру», в России в 2007 году действовало 11 ПИФов как индексные фонды. Первый российский индексный фонд был образован в 2003 году. В США такие фонды действуют уже 30 лет. Российские фонды ориентируются на индексы ММВБ или РТС (после модификации в 2006 году индекс РТС стал учитывать и ликвидность бумаг, что требуется для правильной работы индексного фонда). Строго следовать индексам индексные фонды, конечно, не могут, так как было бы нерационально вносить изменения во вложения непрерывно. См. материалы об индексных фондах на портале частного инвестора «Вложи.ру»: http://www.vlozhi.ru/

30Дробление акций снижает их номинальную стоимость, в результате чего она становится более доступной мелким акционерам. Расширение рынка акций может повысить к ним интерес и, соответственно, увеличить спрос на них, а значит, и рыночную стоимость акций

31 Эффективность взаимных фондов относительно эффективности индексных акций за 1980-1990 годы см.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 238. В 80-е годы взаимные фонды обгоняли индекс S&P 500, в 90-е годы – отставали. Там же и другие современные материалы по эффективности взаимных фондов. Например, по данным с 1968 по 2002 годы проведено сопоставление доли наличности в активах взаимных фондов и индекса S&P 500. Сопоставление показало, что доля наличности в активах фондов была высока именно в те моменты, когда индекс был низок, то есть когда надо было, наоборот, тратить наличные деньги на покупку акций – стр. 244-248.

32 Результаты расчетов см.: Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 235.

33 См. номера журнала «Финанс» за 2009-2010 годы.

34 См. Элдер А. Как играть и выигрывать на бирже: Психология. Технический анализ. Контроль над капиталом – М.: Альпина Бизнес Бук, 2007, стр. 29-35.

35 См.: Дамодаран А. Инвестиционные байки: разоблачение мифов о безпроигрышных биржевых стратегиях – пер. с англ. СПб.: Питер, 2007, стр. 396-428.

36 См.: Хэгстром Р. Дж. Инвестирование. Последнее свободное искусство – пер. с англ. – М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2005.

37 Сравнение среднегодовой доходности и риска (квадратичного отклонения доходности) акций компаний крупных и мелких за период с 1926-2001 показало, что среднегодовая доходность акций мелких компаний – 17.5%, а крупных – 12.4 при риске 35.3 и 20.8%% соответственно. Среднеожидаемый ежемесячный доход за период 1963-1990 годы также показывает зависимость от размера компании. В то же время в 90-е годы ситуация изменилась, большие доходы стали давать компании с высокой капитализацией. Дело, по-видимому, в том, что выросла доля институциональных инвесторов, работающих с акциями крупных компаний, и акции мелкий компаний потеряли часть ликвидности – См. Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 265, 333-334.

38 Данные за 80-е годы показывают, что акции с низким коэффициентом доходности (отношение цены акции к чистой прибыли компании) показывали более высокую доходность. Аналогично, акции с низким оотношением цены к стоимости активов фирмы дают обычно большую доходность – См. Бертон Мэлкил. Случайная прогулка по Уолл-Стрит, стр. 334-340.

39 Доказательства приведены по материалам книги: Бромвич Майкл. Анализ экономической эффективности капиталовложений – М.: ИНФРА-М, 1996.

40 См. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятности – М.: Наука, 1969, стр. 179 (глава 5. Числовые характеристики случайных величин)