- •Введение
- •Глава 1. Элементы векторного анализа
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Математическое понятие поля. Градиент
- •3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса
- •4. Ротор. Теорема Стокса
- •5. Некоторые соотношения векторного анализа
- •6. Операции в криволинейных координатах
- •В цилиндрических координатах
- •В сферических координатах
- •7. О дифференциальных уравнениях с частными производными
- •Глава 2. Уравнения лапласа и пуассона
- •8. Дельта-функция Дирака
- •9. Интегрирование уравнения Пуассона
- •10. Граничные задачи для уравнения Лапласа
- •11. Метод разделения переменных
- •Г лава 3. Гармонические колебания и волны
- •12. Гармонические колебания и метод комплексных амплитуд
- •13. Волновые процессы и их математическое описание
- •14. Вращение декартовой системы координат
- •Глава 4. Решения волновых уравнений
- •15. Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера
- •16. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции
- •17. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных
- •Глава 5. Краевые задачи электродинамики
- •18. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения
- •19. Ортогональные системы функций и ряды Фурье
- •20. Сведения из алгебры
- •21. Проекционные методы
- •Список литературы
- •Контрольные задания
Глава 2. Уравнения лапласа и пуассона
В уравнения Максвелла входят плотность заряда ρ и плотность тока проводимости , а также другие функциями плотности, например, плотности мощности p, плотности энергии ω и т. д. Эти функции определяются предельными выражениями, которые имеют вполне ясный смысл при плавно меняющихся, как говорят, гладких (дифференцируемых) распределениях заряда, тока и иных физических величин. Но как, например, охарактеризовать при помощи функции ρ идеальный точечный заряд, который занимает исчезающе малый объем, а, следовательно, должен иметь бесконечную плотность в точке? На этот и подобные вопросы, касающиеся дискретных распределений, дает ответ аппарат дельта-функции Дирака. Этот аппарат будет использован, в частности, при интегрировании уравнения Пуассона.
Рассмотрение граничных задач для уравнения Лапласа понадобится для правильного суждения о содержании важных классов задач электростатики.
Наконец, излагаемый в данной главе метод разделения переменных применяется далее к самым различным задачам теории электромагнетизма.
8. Дельта-функция Дирака
8.1. Первоначальное понятие. Рассмотрим функцию F(x), изображаемую в виде «импульса»:
F(х) = 0 при х < - Δх и при х > Δх, причём
(8.1)
Введём новую функцию δ(х) как предел
(8.2)
В частности, при задании F(x) в виде прямоугольного импульса она равна:
(8.3)
Функция δ (х), как видно, равна нулю везде кроме исчезающе малой окрестности точки х = 0, где она неограниченна. С точки зрения классического математического анализа, рассмотрение δ(х) затруднительно, следовало бы сказать, что предел (8.2), (8.3) не существует.
Тем не менее, произведенные рассуждения наводят на мысль о существовании особого математического объекта, называемого дельта-функцией Дирака (по имени известного физика). В качестве определения дельта-функции δ(х) обычно рассматривают следующее интегральное соотношение
(8.4)
где f(x) - обычная функция. При этом для всякого ограниченного отрезка
(8.5)
В частности, при f(x) = 1
(8.4а)
(8.5а)
Вернёмся теперь к формулам (8.1) - (8.3), чтобы убедиться, что интуитивный образ, к которому они приводят, соответствует определению дельта-функции. Согласно (8.2), (8.3) δ(х) = 0 везде кроме точки х = 0 (соответственно везде кроме точки при сохранении интеграла (8.1). Это отвечает соотношениям (8.4 а), (8.5 а). Что касается формул (8.4) и (8.5), то всю область интегрирования, когда она включает точку х΄ можно заменить отрезком ΔL, покрывающим х' и настолько малым, что функцию f(x) на нем можно считать постоянной и равной f(x'). Поэтому
.
8.2. Обобщение и примеры. Всё cказанное нетрудно обобщить, например, на функцию трёх переменных. Взяв вместо отрезка L пространственную область V, будем обозначать задаваемые нам функции как /(г) (§ 2, п. 1). Аналогично (8.1) можно рассматривать функцию F(r) такую, что
при
и в том же смысле, что и в (8.2), говорить о предельном случае
Переходя к определению дельта-функции , вместо (8.4) и (8.5) будем иметь:
(8.6)
(8.7)
Подобным же образом рассматривается и двумерный случай. Достаточно лишь вместо V взять S; тогда r лежит в плоскости, на которой лежит область S и круг радиуса ρ.
Разумеется, в трехмерном случае (при использовании декартовых координат) справедливо равенство:
, (8.8)
и аналогичное равенство можно записать для двумерного случая.
В качество примера применения дельта-функции охарактеризуем плотность заряда в пространстве при наличии точечного заряда q, расположенного в точке М . Легко видеть, что
(8.9)
так как при этом
(8.10)
Возьмём, далее, некоторую поверхность S (рис. 8.2), пусть на ней заданы координатные функции q1, q2 (криволинейные координаты, см. п. 6.1) и нормаль , которую мы представляем как прямолинейную координату с началом на S (n = 0 на S); если S несёт поверхностный заряд с плотностью , его можно рассматривать как распределённый в объёме с плотностью
(8.11)
Действительно,
(точки а и -а лежат на прямой n по разные стороны S). Рассмотрим поверхностный ток I, распределенный на Р с плотностью . Вместо можно ввести плотность тока в объёме
(8.12)
где подразумевается, что точки находятся на какой-либо поверхности S, пересекающей Р по линии l, a n - координатная линия в S.
В самом деле, при этом пересекающий поверхностный ток описывается как ток в объёме с плотностью , проходящей через S:
( - орт нормали к l, касательный Р).
Наконец, возьмём случай тока I, протекающего, вдоль, линии L. Для такого линейного тока
(8.13)
где дельта-функция двумерная; соответственно этому точки -и (последняя лежит на L) при интегрировании остаются на какой-либо поверхности, пересекаемой током. Вычисляя ток I, имеем:
8.3. Представление дельта-функции δ (r). Взяв функцию
убедимся; что везде, за исключением точки r = 0, она равна нулю. Действительно, на основании (6.21) .
Исследуем теперь объёмный интеграл от по области V, содержащей начало координат r = 0; при помощи теоремы Остроградского-Гаусса преобразуем его к поверхностному:
Пусть V - сферический объём с центром при r = 0; тогда S есть соответствующая сферическая поверхность радиуса ρ, на которой функция grad постоянна и согласно (6.18) или (2.12а) равна:
Таким образом, для любого сферического (а, следовательно, и иного) объема V, содержащего начало координат,
Подведём итог. Функция , равная нулю везде, кроме начала координат, при интегрировании по любой области, включающей начало, даёт - 4π. Поэтому, будучи умножена на -1/4π, эта функция удовлетворяет определению (8.6), (8.7). Это значит, что найдена дельта-функция
(8.14)
Очевидно также, что
(8.14а)
Полученный результат ниже будет использован при интегрировании уравнения Пуассона.