11. Метод разделения переменных

11.1. Сущность метода. Разделение переменных в цилиндрических координатах. При решении граничных задач для различных уравнений с частными производными широко используется так называемый метод разделения переменных, позволяющий свести исходную задачу вообще к трем (а в двумерном случае к двум) задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод применим при пользовании декартовой, цилиндрической, сферической и несколькими другими системами координат, когда граничная поверхность задачи может рассматриваться как координатная (или иногда совокупность координатных поверхностей). Позднее мы будем применять метод разделения переменных к различным задачам электродинамики, а в данной главе он используется при решении граничных задач для уравнения Лапласа.

Поясним сущность метода разделения переменных на следующем примере. Пусть требуется найти решение граничной задачи для уравнения Лапласа (задачи Дирихле или Неймана, внутренней или внешней) для цилиндрической области при условии, что решение не зависит от продольной координаты z, т. е. неизменно вдоль оси цилиндра. Ввиду этого задача является двумерной: решение ищется как функция координат в плоскости поперечного сечении цилиндра. Согласно (6.17) уравнение Лапласа принимает вид:

(11.1)

Предположим, что искомое решение представляет собой произведение двух функций, одна из которых есть функция радиальной координаты, а другая - азимутальной:

(11.2)

Мы увидим в дальнейшем, что это предположение оправдывается. Подстановка выражения (11.2) в уравнение Лапласа (11.1) с последующим умножением обоих слагаемых на r/RФ дает:

(11.3)

Таким образом, путём довольно простых операций удалось представить левую часть уравнения в виде суммы функций независимых аргументов: первое слагаемое в (11.3) зависит только от r, а второе - от φ. Простые рассуждения показывают, что эти слагаемые - константы. Действительно, фиксируя некоторое значение r и делая тем самым заведомо постоянным первое слагаемое, будем менять в возможных пределах φ, на что мы имеем право в силу независимости обоих слагаемых. Второе слагаемое, как видно из (11.3), остается при этом постоянным и равным первому с обратным знаком. Точно так же можно зафиксировать φ и убедиться, что первое слагаемое постоянно при изменении r. Постоянная величина, которой равно первое слагаемое, пока неизвестна; обозначим ее п² и назовем постоянной разделения. Приравнивая слагаемые (11.3) постоянным п² и - п² соответственно, получаем после очевидных преобразований следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения:

(11.4)

Это и есть результат «разделения переменных».

Теперь ясно, что решение уравнения Лапласа (11.1) в форме (11.2) существует, поскольку R и Ф есть решения обыкновенных дифференциальных уравнений (11.4). Найдём решения этих уравнений.

Начнем с более простого уравнения, стоящего во второй строке (11.4) и уже встречавшегося в п.7. Используя первую форму записи (7.8), выразим его общее решение в виде:

Ф = A cos nφ + В sin nφ, (11.5)

где А и В - произвольные постоянные. Поскольку функция Ф должна иметь период 2π, т. е.

(11.6)

(возвращение в прежнюю точку после обхода), то

,

где т - целое число или нуль. Отсюда следует, что

n=0, ± 1, ± 2, ... , (11.7)

т. е. дробные значения п исключены. Ввиду неопределенности А и В, в (11.7) достаточно оставить положительные числа и нуль. В частности, при п = 0 из (11.5) находим, что Ф = А = const. Заметим, что при п = 0 уравнение во второй строчке (11.4) имеет и более общее непериодическое решение

W = Aφ + B,

которое ввиду (11.6) не является решением нашей задачи.

Уравнение в первой строчке (11.4) имеет общее решение

_{U =} (11.8)

где С и D - произвольные постоянные.

Итак, решение уравнения Лапласа (11.1) представлено в виде произведения функций (11.2), определяемых формулами (11.5) и (11.8).

Значения произвольных констант, входящих в полученные решения, определяются, естественно, конкретными граничными условиями задачи.