- •Введение
- •Глава 1. Элементы векторного анализа
- •1. Векторы и действия над ними
- •2. Математическое понятие поля. Градиент
- •3. Дивергенция. Теорема Остроградского-Гаусса
- •4. Ротор. Теорема Стокса
- •5. Некоторые соотношения векторного анализа
- •6. Операции в криволинейных координатах
- •В цилиндрических координатах
- •В сферических координатах
- •7. О дифференциальных уравнениях с частными производными
- •Глава 2. Уравнения лапласа и пуассона
- •8. Дельта-функция Дирака
- •9. Интегрирование уравнения Пуассона
- •10. Граничные задачи для уравнения Лапласа
- •11. Метод разделения переменных
- •Г лава 3. Гармонические колебания и волны
- •12. Гармонические колебания и метод комплексных амплитуд
- •13. Волновые процессы и их математическое описание
- •14. Вращение декартовой системы координат
- •Глава 4. Решения волновых уравнений
- •15. Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера
- •16. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции
- •17. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных
- •Глава 5. Краевые задачи электродинамики
- •18. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения
- •19. Ортогональные системы функций и ряды Фурье
- •20. Сведения из алгебры
- •21. Проекционные методы
- •Список литературы
- •Контрольные задания
ФГОБУ ВПО СИБГУТИ
Специальные главы математики
Учебное пособие по курсу «Электромагнитные поля и волны»
Н
овосибирск, 2012г.
Введение
Математика играет важную роль в исследовании различных физических объектов, представляя собой по сути «язык» любой физической теории. Без использования этого специального языка изложение теории электромагнитного поля было бы весьма затруднительно, не говоря уже о применении теории электромагнетизма в практических приложениях.
В данном пособии излагаются математические сведения, необходимые для последующего изучения курса «Электромагнитные поля и волны». Будут изложены вопросы, частично знакомые вам в результате предшествующих курсов математики, однако их более глубокое изучение представляется весьма полезным.
Это касается теории векторных полей, векторных дифференциальных операторов, дифференциальных уравнений с частными производными, некоторых методов математической физики, теории гармонических колебаний, волновых уравнений, краевых задач электродинамики и вычислительных методов.
Глава 1. Элементы векторного анализа
Физические величины могут характеризоваться не только их числовым значением (например, масса, температура) – тогда они называются скалярами, но и направлением в пространстве (например, скорость, сила). Такие величины называются векторами. К этому классу физических величин относятся и характеристики электромагнитного поля - напряжённости, изучаемые в курсе электродинамики. Поэтому эти характеристики описываются с помощью математической теории векторных полей.
1. Векторы и действия над ними
1.1 Основные операции. Произвольный вектор можно представить как где - единичный вектор (орт), а A - абсолютное значение вектора . Орты, соответствующие направлениям осей декартовой системы координат, будем обозначать . Таким образом, в проекциях на эти оси вектор имеет следующий вид:
. (1.1)
Проекции вектора на оси координат называются также его компонентами, или составляющими вектора.
Сложение в векторной алгебре понимается как алгебраическое сложение компонент векторов:
. (1.2)
Умножение вектора на число (скаляр) m есть получение вектора
(1.3)
с новым абсолютным значением |m|A.
Скалярное произведение векторов обозначается и определяется следующим образом:
, (1.4)
где - угол между направлениями векторов. В результате скалярного произведения векторов образуется число. Как видно из (1.4), значение скалярного произведения может быть равным нулю при равных нулю исходных векторах (т.е. векторах с ненулевыми значениями A и B), либо при нулевых значениях . В последнем случае эти векторы называются ортогональными: они направлены под прямым углом друг к другу.
Векторное произведение векторов , обозначаемое есть
, (1.5)
где - единичный вектор, направленный по нормали к плоскости векторов , причем так, что образуют «правую тройку» векторов: если смотреть вдоль , то кратчайшее угловое расстояние между векторами , обозначенное φ, будет соответствовать движению от по часовой стрелке. Удобно записывать векторное произведение в форме следующего определителя:
(1.5a)
раскрытие которого приводит к указанному результату. Векторное произведение некоммутативно, т.е. сомножители нельзя переставлять местами, имея в виду сохранение результата. А именно:
. (1.6)
Под векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов понимается скаляр ; при этом
, (1.7).
т. е. важен циклический порядок следования перемножаемых векторов , при сохранении которого безразлично, какие два вектора из трёх образуют векторное произведение. На основании (1.4) и (1.5) легко установить, что
(1.8)
Далее, запишем формулу двойного векторного произведения:
(1.9)
1.2. Линейное преобразование векторов. Вернёмся к вопросу об умножении вектора на скаляр. Согласно (1.3), равенство векторов
(1.10)
равносильно трем скалярным равенствам:
, (1.10а)
Если m - положительное число, то векторы направлены одинаково, а при отрицательном m - противоположно («параллельно» и «антипараллельно»); говорят, что такие векторы коллинеарны. Мы имеем здесь дело с частным видом линейного преобразования набора компонент в аналогичный набор ; заметим, что эти совокупности компонент, вполне определяющие векторы , мы также можем называть векторами.
В общем случае под однородным линейным преобразованием рассматриваемых векторов понимают сопоставление вектору нового вектора , компоненты которого определяются по формулам:
, (1.11)
где тхх, тху,..., тzу, тzz - некоторые числа. Векторы , компоненты которых связаны соотношениями (1.11), уже не коллинеарны; следовательно, записанное преобразование определяет не только изменение абсолютного значения («растяжение» или «сжатие») вектора, но и некоторый его поворот.
Остановимся на формальном описании преобразования (1.11). С точки зрения линейной алгебры, таблица чисел
(1.12)
образует матрицу, а равенства (1.11) выражают операцию умножения матрицы на вектор-столбец ( ), приводящую к вектору-столбцу (Вх, Ву, Bz). В частности, в (1.10а) мы имеем случай, когда , где
(1.13)
так называемая единичная матрица.
Вместо символа матрицы введём иной символ и запишем равенства (1.11) в следующей сокращённой форме:
(1.14)
Умножение на здесь понимается как выполнение операций над компонентами вектора , содержащимися в. (1.11). Соотношение (1.14) есть обобщение равенства векторной алгебры (1.10), в котором роль множителя вместо скаляpa m играет объект более сложного характера , называемый тензором. В частности, единичной матрице I соответствует также обозначаемый единичный тензор I.
Тензор выступает как оператор, который, действуя на вектор , преобразует его в другой вектор .
1.3. Радиус-вектор. Рассмотрим важный пример вектора, зависящего от точки пространства, в которой он рассматривается, т. е. пример векторной функции. Это радиус-вектор ,
, (1.15)
который представляет собой направленный отрезок, соединяющий начало координат О (0, 0, 0) с некоторой «текущей» точкой М(х, у, z.). Длина радиус-вектора r = ОМ (его абсолютное значение) есть скалярная функция
. (1.15а)
Очевидно, отрезок, соединяющий две точки Р(х', у', z') и М(х, у, z), изображается разностью их радиус-векторов:
. (1.16)
Абсолютное значение этого вектора выражает расстояние между точками Р и М:
(1.16a)