20. Сведения из алгебры

2 0.1. Векторы и матрицы. Запишем п линейных уравнений с п неизвестными:

(20.1)

Существует ещё следующая краткая форма записи этой системы

Ах = B, (20.2)

где объект А, представляющий собой таблицу коэффициентов

A ₁₁ A_{12. . . . . . . . .} A_1n

A₂₁ A_{22. . . . . . . . .} A_2n = А, (20.2а)

…………………..

A_n1 A_{n2. . . . . . . . .} A_nn

называется квадратной матрицей порядка п, а х и b - столбцы величин

x₁ b₁

x₂ b₂

_… = x и … =b (20.2б) x_n b_n

(наборы чисел), рассматриваемые как векторы.

Действительно, вектор в трёхмерном пространстве характеризуется набором трех чисел, выражающих его компоненты. Подобно этому х и b играют роль векторов в n-мерном пространстве, а систему уравнений (20.1) можно считать аналогом линейного преобразования (1.11). На векторы в n-мерном пространстве распространяются правила действий (1.2) - (1.4). А именно, суммой векторов а и b является вектор с с компонентами c_i = a_i + b_i; произведение числа т на вектор а даёт вектор с компонентами та_i; скалярное же произведение векторов с и b есть число

Формальный смысл равенства (20.2) заключен в том, что его левую часть следует рассматривать как произведение матрицы А на вектор х; с этой точки зрения, левая часть (20.1) указывает правило умножения А на х, результатом которого является вектор b с компонентами

Над матрицами также производятся алгебраические действия. Равенство

Аа + Ва = B,

где А и В - квадратные матрицы порядка п, а а и b - соответствующие векторы, можно выразить в виде

Са = B.

Здесь C - новая матрица, являющаяся суммой матриц А и В:

(20.5)

К понятию операции умножения матрицы на матрицу приходим, имея равенства типа (20.2)

Ах = b и х = Вс.

Исключая х, запишем:

Сс = b,

где матрица С есть произведение А и В. Правило образования её элементов C_ik из A_ik и B_ik нетрудно получить, отправляясь от первоначальных форм типа (20.1). Оно имеет вид;

(20.6)

Операция умножения матриц некоммутативна, т. е. вообще АВ ≠ ВА.

20.2. Некоторые виды матриц. Матрица называется диагональной, если все элементы A_ik при i ≠ k равны нулю, т. е.

(20.7)

( - символ Кронекера, см. § 19 п. 2); в частности, при

(20.7а)

матрица A называется единичной и обозначается А = I; все элементы А_ii при этом равны единице, а остальные - нулю. Транспонированной по отношению к А называют матрицу А', обладающую тем свойством, что

. (20.8)

Матрица А' получается из А путем замены строк столбцами. Комплексно-сопряженной называется матрица А* с комплексно-сопряженными элементами:

. (20.9)

Введем, далее, .понятие обратной матрицы А^-1: для неё

. (20.10)

Матрица А может не иметь обратной и называется тогда особенной.

Поставим целью для данной матрицы А найти так называемую сопряжённую матрицу , удовлетворяющую условию

, (20.11)

где а и b - произвольные векторы. На основании определения скалярного произведения векторов (20.3) должно быть:

,

т. е.

.

При любых a и b это возможно лишь при равенстве для всех i и k, а следовательно,

(20.11а)

Мы видим, что сопряжённая матрица является транспонированной и комплексно-сопряжённой.

Если матрица А равна сопряжённой, т. е. и

, (20.12)

то ввиду (20.11а)

. (20.12а)

Диагональные элементы такой матрицы А_и вещественны. Матрица называется эрмитовой (самосопряжённой).

Если эрмитова матрица вещественна (A* = А), и согласно (20.12а) A_ik=A_ki, т.е.

, (20.13)

то говорят, что она является симметрической.

Наконец, вернемся к уравнению (20.2) и поставим вопрос, каким свойством должна обладать матрица А, чтобы выполнялось равенство

(х,х) = (b,b). (20.14)

Его можно истолковать так: при преобразовании вектора х и b последний сохраняет длину, т. е. имеет место поворот вектора в n-мерном пространстве. Выражая в (20.14) b через х, имеем:

(х, х) = (Ах, Ах).

Перепишем это с учётом (20.11) в виде:

.

Отсюда следует, что равенство (20.14) выполняется, если

, (20.15)

т. е. ввиду (20.10) сопряж`нная и обратная матрица равны. Исходная матрица A называется при этом унитарной. Если матрица A вещественна (A* = A) и унитарна, то

. (20.16)

Такую матрицу называют ортогональной.

Заметим, что ортогональными являются матрицы преобразований, рассмотренных в § 14, составленные из направляющих косинусов для декартовой системы координат в трёхмерном пространстве. Элементы произвольной ортогональной матрицы тоже можно истолковать как направляющие косинусы (в n-мерном пространстве).

20.3. О задачах линейной алгебры. Одной из задач линейной алгебры является решение системы уравнений (20.1), т. е, согласно (20.2) определение вектора х при заданной матрице А и заданном векторе b. Если матрица А-неособенная (имеет обратную), то, умножая (20.2) слева на A^-1, сразу получаем формальное решение задачи:

. (20.17)

Можно сказать, что решение системы уравнений (20.1) сводится к обращению её матрицы А. Показывается, что

(20.18)

где Δ = DetA - определитель, соответствующий матрице А, а Δ_ik - алгебраические дополнения к элементам A_ik; эти понятия считаются известными читателю. Можно отметить, что в (20.18) фигурируют алгебраические дополнения не к тем элементам матрицы А_iк, на местах которых они находятся, а к транспонированным. Очевидно, матрица А - особенная, если Δ = 0.

Рассмотрим однородную систему уравнений, в матричной форме имеющую вид:

Аа = κа, (20.19)

где κ - некоторый параметр (число). Это формулировка задачи на собственные значения матрицы А (ср. § 19, п. 1).

Для того чтобы однородная система имела решение (отличное от нулевого) её определитель должен обращаться в нуль, т. е. в данном случае должно быть:

Det |A - κ I| = 0, (20.20)

или в подробной записи:

= 0. (20.20а)

Уравнение (20.20) называют характеристическим (или вековым) уравнением матрицы А. Собственные значения матрицы κ = κ_i являются его корнями.

Различные способы обращения матриц и нахождения их собственных значений излагаются в курсах линейной алгебры и вычислительной математики (см., напр., [4]).